О различных определениях римановых поверхностей

[scwec]

Почему бы Вам не прочитать книжку Дж. Спрингер "Введение в теорию римановых поверхностей". Она и книжка Стоилова относятся к одной эпохе. Дж. Спрингера нам всегда рекомендовал С.П. Новиков. Правда, она чуть толще Стоилова, но получите от прочтения удовольствие.

[Shawn]

Здравствуйте! Решил не создавать новую тему, написать в этой, подходящей по названию.
Определение р.п. у Форстера: р.п. -- двумерное многообразие, и комплексная структура на нем. Т.е. существует комплексный атлас попарно биголоморфно согласованных карт (гомеоморфизмов $\varphi:U\rightarrow V$ открытой области $U$ многообразия на открытую область $V$ комплексной плоскости).

Рассмотрим два листа плоскости с разрезами от нуля до бесконечности, склеенные крест-накрест. Придумывая атлас для такой поверхности, я смогу покрыть все точки? Или проблема с нулем и бесконечностью? "Окрестность нуля" -- двулистный круг -- можно взаимооднозначно и непрерывно (в обе стороны) отобразить на обычную окрестность точки ноль комплексной плоскости. Обозначим такую поверхность через $G$.

Рассмотрим две поверхности $\mathbb{C}$ и $G$. Отображение $f:\mathbb{C}\rightarrow G$ голоморфно в области определения, т.е. композиция $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ голоморфна в обычном смысле, где $\psi$ -- карта для $G$, $\varphi$ -- карта для $\mathbb{C}$.

Далее, Предложение 2.1 (о локальной форме голоморфного отображения) говорит, что можно подобрать такие карты, что голоморфное отображение $F$ локально представимо в виде $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}=z^k$, где $k\in\mathbb{N}$.

У меня не укладывается, получается отображение $f(z)=z^2$, $f:\mathbb{C}\rightarrow G$ локально представимо как $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}=z^1$ в окрестности нуля? Ведь в качестве $\varphi$ можно взять тождественное, а $\psi$ разворачивает двулистный круг. Как тогда представить отображение, которое локально представимо как $z^2$ ?? Где я не понял?

[Padawan]

Shawn в сообщении #1485441 писал(а):

Придумывая атлас для такой поверхности, я смогу покрыть все точки? Или проблема с нулем и бесконечностью? "Окрестность нуля" -- двулистный круг -- можно взаимооднозначно и непрерывно (в обе стороны) отобразить на обычную окрестность точки ноль комплексной плоскости. Обозначим такую поверхность через $G$.

$w=z^2$ взаимно однозначно отображает круг $|z|<1$ на ваш двулистный круг. Принимаем $z$ за локальную координату на $G$ в окрестности этой точки.

Shawn в сообщении #1485441 писал(а):

У меня не укладывается, получается отображение $f(z)=z^2$, $f:\mathbb{C}\rightarrow G$

А что это за такое отображение? Это отображение из $\mathbb C$ в $\mathbb C$. Над $z^2$ лежат две точки поверхности $G$.

[Shawn]

Спасибо за ответ! Хорошо, получается, отображение $f:\mathbb{C}\rightarrow G$ всюду локально представимо как $\psi\circ f\circ\varphi^{-1}=z$.

Цитата:

А что это за такое отображение? Это отображение из $\mathbb C$ в $\mathbb C$.

Почему $z^2$ как локальная координата ($\psi^{-1}$) отображает на двулистный круг, а в качестве отображения римановой поверхности на риманову его нельзя взять?

Как представить ситуацию, чтобы получилось отображение локально представимое как $z^2$?

[Padawan]

Хорошо, давайте так: что является элементами вашей римановой поверхности $G$? И если Вы пишите

Shawn в сообщении #1485441 писал(а):

$f(z)=z^2$, $f:\mathbb{C}\rightarrow G$

то в какой элемент переходит точка $z=1$, например?

[Slav-27]

Shawn в сообщении #1485441 писал(а):

Придумывая атлас для такой поверхности, я смогу покрыть все точки? Или проблема с нулем и бесконечностью?

Если это понятно:

Shawn в сообщении #1485441 писал(а):

"Окрестность нуля" -- двулистный круг -- можно взаимооднозначно и непрерывно (в обе стороны) отобразить на обычную окрестность точки ноль комплексной плоскости.

-- то предыдущий вопрос не должен возникать, потому что такое отображение -- комплексная карта.

Shawn в сообщении #1485441 писал(а):

У меня не укладывается, получается отображение $f(z)=z^2$, $f:\mathbb{C}\rightarrow G$

Это отображение не $\mathbb C\to G$, а $\mathbb C\to\mathbb C$.

Можно выбрать карты $\varphi$ и $\psi$ окрестности нуля в $\mathbb C$ так, что $(\psi \circ f\circ \varphi^{-1})(z)=z^2$ -- например, подойдут $\varphi=\psi=$ тождественное отображение $\mathbb C\to\mathbb C$. Выбрать карты $\varphi$ и $\psi$ так, чтобы $(\psi \circ f\circ \varphi^{-1})(z)=z$, нельзя.

[novichok2018]

Я бы книги М.Евграфова посоветовал. Либо под псевдонимом Курант/Гурвиц, либо под собственным именем.

[Shawn]

Спасибо за подсказки!

Цитата:

Я бы книги М.Евграфова посоветовал. Либо под псевдонимом Курант/Гурвиц

Курант, Гурвиц "Теория функций" (1968) в переводе М.Евграфова, или еще другие есть?

Цитата:

то в какой элемент переходит точка $z=1$, например?

Понял, отображение $z^2$ переводит $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}$.
Тогда я могу организовать $f$ из $\mathbb{C}$ в $G$ так: пусть $f$ переводит $\mathbb{C}$ в верхний лист поверхности $G$. Тогда композиция $(\psi \circ f\circ \varphi^{-1})(z)$ будет локально представима в нуле как $\sqrt{z}$, (некоторая ветвь) так?

Цитата:

например, подойдут $\varphi=\psi=$ тождественное отображение

тут не понял. Для "окрестности нуля" поверхности $G$ не могу взять тождественное отображение: гомеоморфизм не получится, могу только карту, которая разворачивает этот двулистных круг на обычную окрестность нуля. Или имеется в виду композиция отображений $\varphi^{-1}=z:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ затем $\f=z^2:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ и далее $\psi=z:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$?

[Slav-27]

Shawn в сообщении #1485441 писал(а):

Рассмотрим два листа плоскости с разрезами от нуля до бесконечности, склеенные крест-накрест.

Это топологическое многообразие, гомеоморфное плоскости. Комплексная структура на нём однозначно определяется требованием, чтобы проекция $\pi$ на $\mathbb C$, склеивающая листы друг с другом, была голоморфным отображением, и с этой комплексной структурой оно изоморфно $\mathbb C$ как комплексное многообразие. Проекция $\pi$ при этом изоморфизме переходит в отображение $\mathbb C\to\mathbb C$, $z\mapsto z^2$. Поэтому все ваши вопросы -- про функцию $z^2$ на $\mathbb C$, и не более. Если это ясно, но вопрос остался, то сформулируйте его, пожалуйста, без упоминания $G$ (или напишите чётко, какая подобласть $\mathbb C$ обозначена через $G$) и каких-то "двулистных кругов", иначе я не понимаю.

-- 04.10.2020, 13:24 --

Shawn в сообщении #1485659 писал(а):

тут не понял. Для "окрестности нуля" поверхности $G$ не могу взять тождественное отображение: гомеоморфизм не получится, могу только карту, которая разворачивает этот двулистных круг на обычную окрестность нуля. Или имеется в виду композиция отображений $\varphi^{-1}=z:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ затем $\f=z^2:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ и далее $\psi=z:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$?

$G$ как комплексное многообразие изоморфно то ли $\mathbb C$, то ли единичному кругу в $\mathbb C$ (вы невнятно пишете, что подразумевается под $G$). Я писал следующее. Рассмотрим $\mathbb C$ как комплексное многообразие и голоморфное отображение $f:\mathbb C\to\mathbb C$, $f(z)=z^2$. Можно выбрать карты $\varphi$ и $\psi$ около точки $0\in\mathbb C$ так, что $(\psi \circ f\circ \varphi^{-1})(z)=z^2$ -- например, подойдут $\varphi=\psi=$ тождественное отображение $\mathbb C\to\mathbb C$. Выбрать карты $\varphi$ и $\psi$ так, чтобы $(\psi \circ f\circ \varphi^{-1})(z)=z$, нельзя.

Shawn в сообщении #1485659 писал(а):

Или имеется в виду композиция отображений $\varphi^{-1}=z:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ затем $\f=z^2:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ и далее $\psi=z:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$?

Да.

[novichok2018]

М. Евграфова не только перевод книги Курант/Гурвиц, там его намного больше, по честному он фактически соавтор этой книги. Есть ещё его очень хорошая книга Аналитические функции, там многое про поверхности Римана и многозначные функции, чётко и без зауми.