О различных определениях римановых поверхностей

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги ! Вот ещё один вопрос, над которым давно бьюсь. В книге С. Стоилова "Лекции о топологических принципах теории аналитических функций" риманова поверхность $V$ определяется как двумерное многообразие, накрывающей которого является плоскость ${\Bbb C}.$ Другими словами (читаем на стр. 51-52 указанной книги), существует непрерывное отображение $f:V\rightarrow {\Bbb C}$ такое что: 1) найдётся конечное или счётное число замкнутых областей $\delta_i\subset V,$ $i=1,2,\ldots,$ для которых $\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\delta_i=V$ и каждая точка $p_0\in V$ является внутренней хотя бы для одного из $\delta_i$; 2) если $h_i$ -- гомеоморфизм $\delta_i$ на единичный круг ${\Bbb D}=\{z\in {\Bbb C}: |z|<1\}$ и $h_i^0$ --- гомеоморфизм $f(\delta_i)$ на единичный круг ${\Bbb D},$ то найдётся число $n_i\in {\Bbb N}$ такое, что $h_i^0\circ f\circ h_i(\xi)=\xi^{n_i},$ $n_i\in {\Bbb N}.$

Однако, общеизвестно также "другое" определение римановой поверхности. Так называют двумерное топологическое многообразие, карты которого связанны конформным преобразованием, т.е., если ${\Bbb S}$ -- риманова поверхность и $U, V$ -- окрестности точки $p_0\in U\cap V,$ $\varphi:U\rightarrow {\Bbb C},$ $\psi:V\rightarrow {\Bbb C}$ -- гомеоморфизмы этих окрестностей в комплексную плоскость, то отображение $\varphi\circ\psi^{\,-1}$ -- конформно.

Мне неясно, как связаны эти два определения между собой. По логике вещей, эти определения должны быть эквивалентны. Как это доказать ? Может, кто-нибудь видел ссылку ? В книге Стоилова об этом ничего не сказано. Буду благодарен за любые комментарии !

[alcoholist]

Evgenii2012 в сообщении #1307682 писал(а):

накрывающей

накрывающим (пространством)
хотя, тут может быть имеется ввиду поверхность, которая накрывающая... но я бы так не стал говорить)))

[Evgenii2012]

Всё верно, пространство - накрывающее; соответствующее отображение - накрытие (=накрывающее отображение)

[пианист]

В одну сторону вроде бы очевидно.
А вот что у любой ПР накрывающая $\mathbb C$ - как-то мне эта латынь сомнительна.
Емнис там некая классификация имеется, и $\mathbb C$ соответствует (только) параболическим ПР.

(Советы постороннего)

А вообще, я бы при первом проходе (да и при втором) такими вопросами на заморачивался - пустая трата времени, по моему.

[Evgenii2012]

Спасибо за Ваше мнение. Давайте пока обсудим "очевидный", с Вашей точки зрения, случай. Если у нас есть связь через карт через некоторое степенное отображение, то почему у нас будет также и конформная связь ? (Если я, конечно, правильно понял слово "очевидный"). Мне, например, даже это не вполне понятно. Если Вам не очень трудно, поделитесь своими соображениями

[g______d]

Мне лень искать книгу Стоилова, откройте лучше книгу Форстера «Римановы поверхности».

Тот факт, что любая компактная риманова поверхность (в смысле определения 2) является разветвлённым накрытием $\mathbb C$, называется теорема существования Римана.

Про некомпактные там есть тоже глава, но я не помню, что там доказывалось (возможно, то же самое).

[alcoholist]

g______d в сообщении #1307983 писал(а):

любая компактная риманова поверхность (в смысле определения 2) является разветвлённым накрытием $\mathbb C$

наоборот, не?

[g______d]

alcoholist в сообщении #1307986 писал(а):

наоборот, не?

Что именно наоборот? Да, имелось в виду $\overline{\mathbb C}$.

-- Пт, 27 апр 2018 07:05:52 --

А, в смысле, что $\mathbb C$ накрывает его, а не наоборот... Тогда это другая теорема, возможно.

-- Пт, 27 апр 2018 08:00:50 --

Прочитал определение 1. По-моему, это в точности и есть разветвлённое накрытие. Отображение именно из $V$ в $\mathbb C$, и устроено как $z^n$ в окрестости каждой точки ветвления. Так что, как мне кажется, мой первый коммент таки по делу.

По поводу того, $\mathbb C$ или $\overline{\mathbb C}$ — по-видимому, всегда можно $\mathbb C$, а для компактных можно ещё и $\overline{\mathbb C}$.

Читайте Форстера в любом случае.

[Evgenii2012]

g______d, большое спасибо за Ваше мнение. Однако, к сожалению, я пока что не поставил точку в этом вопросе. Вы не могли бы уточнить, где именно у Форстера (главу, раздел и т.п.) нужно посмотреть ? Самое близкое у Форстера, что я обнаружил - это предложения 5.9 и 5.11 первой главы, но они всё же немного не о том. Теорема 27.9 главы 3 вряд ли тоже относится к нашему вопросу

-- 02.05.2018, 21:41 --

пианист, ещё раз большое спасибо за Ваше мнение. Во втором определении речь шла об отображении на всё ${\Bbb C},$ поэтому "второе" определение формально не влечёт "первое". Остальное вроде бы, действительно, тривиально. Может быть, у Вас также будут мысли /комментарий на этот счёт ?

[g______d]

Предложение 26.7 для некомпактных поверхностей.
Следствие 14.13 для компактных.

И к тому, и к другому применить Предложение 4.2 (в первом случае голоморфная функция -- это отображение в $\mathbb C$, а во втором -- мероморфная функция является отображением в $\overline{\mathbb C}$).

Чтобы во втором случае получить отображение в $\mathbb C$, а не в $\overline{\mathbb C}$, нужно выкинуть из поверхности прообраз бесконечности (это некоторое конечное множество точек).

А потом применить Предложение 2.1 (утверждение которого, с точностью до деталей, совпадает с первым определением из поста).

[пианист]

Присоединюсь к пожеланию изучать тему по Форстеру.

Evgenii2012 в сообщении #1309568 писал(а):

Во втором определении речь шла об отображении на всё ${\Bbb C},$ поэтому "второе" определение формально не влечёт "первое"

Не совсем понял Вашу мысль. Т.е. РП в книге, которую Вы изучаете, не является РП в общепринятом смысле?
Тогда тем более не стоит использовать данное пособие.

[Evgenii2012]

g______d и пианист , большое спасибо Вам за обсуждение. "В одну сторону" импликация имеет место - это установлено. Будет ли верно утверждение в другую сторону ? Точка в этом вопросе, насколько я понимаю, пока не поставлена

[Evgenii2012]

Уважаемый g______d, к большому для себя сожалению, я начал сомневаться в правильности Ваших доводов. Предлагаю к ним вернуться - давайте для простоты рассмотрим случай компактной поверхности. Действительно, применяя все перечисленные Вами аргументы, мы получим отображение $f$ римановой поверхности $X$ на ${\Bbb C}\setminus \{a_1,\ldots, a_m\}.$ Но это будет отображение не на ${\Bbb C},$ это лишь отображение в ${\Bbb C}.$

Да, я забыл сказать - это было важно, безусловно: в определении 1 отображение должно быть отображением на. На всякий случай, уточняю определение 1: <<риманова поверхность $V$ определяется как двумерное многообразие, накрывающей которого является плоскость ${\Bbb C}.$ Другими словами, существует непрерывное отображение $f:V\rightarrow {\Bbb C}$ пространства $V$ на пространство ${\Bbb C}$ такое что: 1) найдётся конечное или счётное число замкнутых областей $\delta_i\subset V,$ $i=1,2,\ldots,$ для которых $\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}\delta_i=V$ и каждая точка $p_0\in V$ является внутренней хотя бы для одного из $\delta_i$; 2) если $h_i$ -- гомеоморфизм $\delta_i$ на единичный круг ${\Bbb D}=\{z\in {\Bbb C}: |z|<1\}$ и $h_i^0$ --- гомеоморфизм $f(\delta_i)$ на единичный круг ${\Bbb D},$ то найдётся число $n_i\in {\Bbb N}$ такое, что $h_i^0\circ f\circ (h_i)^{\,-1}(\xi)=\xi^{n_i},$ $n_i\in {\Bbb N}.$

P.S. Голоморфным отображением $f$ пространства $X$ на ${\Bbb C}$ будет только постоянное отображение, см. следствие 2.8 в книге Форстера. Поэтому, если искомое накрытие существует, то уж точно его следует искать не среди голоморфных отображений, по логике вещей

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1311082 писал(а):

Действительно, применяя все перечисленные Вами аргументы, мы получим отображение $f$ римановой поверхности $X$ на ${\Bbb C}\setminus \{a_1,\ldots, a_m\}.$ Но это будет отображение не на ${\Bbb C},$ это лишь отображение в ${\Bbb C}.$

Нет, вы не оттуда выкинули точки. Пусть $X$ компактная РП. Если $f\colon X\to \overline{\mathbb C}$ -- непостоянное мероморфное отображение (которое существует в силу следствия 14.13) то $f$ сюръективно (потому что в противном случае легко построить непостоянную голоморфную функцию на $X$ и получить противоречие). Пусть $\{b_1,\ldots,b_n\}=f^{-1}(\{\infty\})$, и пусть $g$ -- сужение $f$ на $H=X\setminus \{b_1,\ldots,b_n\}$. Тогда $g\colon H\to \mathbb C$ является голоморфным сюръективным отображением.

Дополнение: я не поленился и открыл книжку Стоилова. Я не очень понимаю, откуда вообще вы взяли $\mathbb C$. Там используется обозначение $(z)$, которое на современном языке означает $\overline{\mathbb C}$ (см. сноску 3). Поэтому предыдущий абзац можно не читать, а сразу взять в качестве $f$ отображение из $X$ в сферу Римана и не выкидывать точки, чтобы образ попал в $\mathbb C$.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за оперативный ответ. Не заметил $\overline{\Bbb C} $ у Стоилова, к сожалению