Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)

[Alm99]

Добрый вечер, уважаемые форумчане! Возникла проблема, которую надо решить, но у меня не получается. Имеется система уравнений, ее надо решить аналитически, я выбрал для этого Maple, поскольку, как мне кажется, Matlab ее не решит. Она имеет вид:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \Theta_{2}\rho_{3}-\rho_{2} \Theta_{3}+\Theta_{1}\Theta_{2}\rho_{2}-\rho_{1}{\Theta_{2}}^{2}+\rho_{3}\Theta_{1}\Theta_{3}-\rho_{1}{\Theta_{3}}^{2}=a_{1} \\ \Theta_{1}\rho_{3}-\rho_{1} \Theta_{3}+\Theta_{1}\Theta_{2}\rho_{2}-\rho_{2}{\Theta_{1}}^{2}+\rho_{3}\Theta_{2}\Theta_{3}-\rho_{2}{\Theta_{3}}^{2}=a_{2} \\ \Theta_{1}\rho_{2}-\rho_{1} \Theta_{2}+\Theta_{1}\Theta_{3}\rho_{1}-\rho_{3}{\Theta_{1}}^{2}+\rho_{2}\Theta_{2}\Theta_{3}-\rho_{3}{\Theta_{2}}^{2}=a_{3} \\ \end{array} \right.$$

Мне надо решить, как я упоминал уже, ее аналитически, привожу код в Maple:

Решить систему необходимо относительно переменных $\Theta_{1},\Theta_{2},\Theta_{3}$.

Проблема в том заключается, что решение системы есть, и оно было найдено, но на это потребовалось 10 часов и 16 минут, а самое главное, что программа зависает, и не дает ни сохранить файл, ни скопировать результат вычислений, даже просто пк выключился. Не скажу что у меня стоит совсем плохое железо на ПК и ноуте, в обоих случаях имеются процессоры поддерживающие виртуальные ядра, и ОЗУ 16 Gb. Интересный факт: во время нахождения решения, процессор был в течение 9 часов нагружен на 98%, а в ОЗУ стабильно держалось 13 Gb.

Систему решить необходимо, но я не могу понять как, какие еще команды можно использовать, как можно ускорить данный процесс, можно ли провести, организовать параллельные вычисления для solve() из пакета SolveTools? Может можно решить в Matlab? Как заставить maple выдать результат? Очень нужна помощь, я правда не уже облазил справку, на других форумах почитал, но ничего... Что можно сделать в данной ситуации, какой совет?

Возникла острая необходимость в решении уравнений, уже неделю пытаюсь, поэтому обращаюсь. Заранее спасибо!

[Vince Diesel]

Попробуйте со всеми $\rho$ равными единице. Математика для этого случая считала меньше минуты, а потом несколько минут форматировала и выводила полный ответ. Он настолько большой, что при попытке прокрутки программа задвисает на несколько секунд. Возможно, в этом и проблема.

[Alm99]

Vince Diesel
Но это уже есть некоторое упрощение, т.е никак нельзя по-другому?

[Vince Diesel]

Вопрос в том, можно ли решение записать хоть сколько-нибудь коротко. А частный случай показывает, что может и нет. Кстати, во втором уравнении не $\Theta_{3}\rho_{1}-\rho_{3} \Theta_{1}$ случайно? Для симметричной системы ответ, вероятно, короче.

[dmd]

Применив результант как на скринах, на выходе получим два фактора - один второй степени, другой восьмой. Обычно только один из факторов равен нулю. Конечно уравнение восьмой степени аналитически не решабельно. Если Мэпл и решил что-то аналитически, то только три уравнения квадратных.

[Alm99]

Vince Diesel
Нет, не случайно

-- 03.10.2020, 11:25 --

dmd
Жаль, Maple вылетает, я к сожалению "Wolfram Mathematica" не осваивал... Но хотя бы понятно, что решение есть... Значит придется как-то выходить из этой ситуации

-- 03.10.2020, 11:28 --

dmd
Вы не могли бы полность код выложить, если не сложно?

[dmd]

Alm99 в сообщении #1485580 писал(а):

Но хотя бы понятно, что решение есть...

Ну я бы не спешил так утверждать. Говорю же, только один из факторов полинома одной переменной есть ноль. Определить, какой из факторов нулевой, можно снова некоторыми манипуляциями над исходной системой и фактором-кандидатом (нужно догадаться какими именно манипуляциями, мне сложно описать словами). На выходе должны получаться уже "знакомые" факторы. Если не получаются, значит кандидат-фактор - не нулевой. Тут проблема еще в том, что из-за плохой симметрии системы полином одной переменной над $\Theta_3$ у меня в Вольфраме не получается, тоже зависает. В отличие от $\Theta_1$ и $\Theta_2$.
И стоило бы перейти к переменным и коэффициентам без индексов, чтоб ими еще CAS не загружать в и без того тяжелых преобразованиях.

[Alm99]

dmd
странно, что не считается... Теперь понятна хотя бы запись Вами кода, Вы пытаетесь именно определить нулевой фактор, не решая прямо целиком систему, сразу относительно 3 переменных... Правда я все равно не знаю, что с этим делать! Спасибо за развернутый ответ, хотя бы есть продвижение...

[dmd]

$$\left\{ \begin{array}{rcl} ...+\Theta_{1}\Theta_{2}\rho_{2}...+\rho_{3}\Theta_{1}\Theta_{3}-... \\ ...+\Theta_{1}\Theta_{2}\rho_{\text{\color{red}2}}...+\rho_{3}\Theta_{2}\Theta_{3}-... \\ ...+\Theta_{1}\Theta_{3}\rho_{1}...+\rho_{2}\Theta_{2}\Theta_{3}-... \\ \end{array} \right.$$

В этих термах симметрия нарушена, хотя в остальных она присутствует. Точно в индексах нет ошибки?

[Alm99]

dmd
Ошибок нет, это правильная модель

-- 03.10.2020, 19:45 --

dmd
Есть ошибка... Исправил, буду смотреть

[Alm99]

dmd
Хотя Вы знаете, уважаемый dmd, ничего не меняется. 7 часов считал, я исправил ошибку и уже почти час он опять считает и решает, без всякого толка, я конечно, буду ждать, но

[dmd]

После исправления индекса полином над $\Theta_3$ построился. Для $\Theta_1$ и $\Theta_2$ тоже перестроил полиномы. Для рандомных значений коэффициентов нашел численное решение системы и подставил в полученные полиномы, чтоб посмотреть, какой из факторов является нулевым. В итоге нулевые факторы для всех переменных - полиномы четвертой степени. Т.е. система аналитически решабельна.

Выглядит это примерно так, для одной из переменных:

Видно, что квадратный фактор не обнулился, а фактор четвертой степени похож на ноль.

[Alm99]

dmd
Я исправил исходную систему, там была ошибка, как мне сказали, но я все равно несмотря на то, что она решаема, не могу получить решения. 6 часов вычислений и ничего... А система выглядит так теперь:

Код программы тот же. Вот численно, система решается, но как заставить символьно решить, я не понимаю.

[nnosipov]

Alm99
В Maple есть пакет Groebner, можно поэкспериментировать с ним.

Да, и вместо картинок помещали бы лучше код как таковой. (Я бы попробовал, но мне лень перенабирать систему уравнений).

[dmd]

Alm99
А Вы не могли бы объяснить, что в итоге затем собираетесь делать с полученным аналитическим решением (если получите, конечно). Ведь оно даже в виде трёх однопеременных полиномов 4-й степени выглядит ужасающе. Как оно будет выглядеть в радикальной форме? Страшно представить. Если ожидаете, что CAS выдаст компактное решение на пол-экрана, то вряд ли. Будет экранов 30, не меньше, сплошных радикалов 2-й и 3-й степени. В таком виде оно просто никак и нигде не применимо, априори. И, скорее всего, CAS делает тоже самое, что показано выше, т.е. вычисляет результанты, только вряд ли выделяет в них факторы, ибо нет хорошего алгоритма определить, какой из факторов нулевой; и в общем случае, когда в системе нет симметрии, факторы не обязаны выделяться, поэтому, думаю, алгоритмы CAS вряд ли заморачиваются с факторами.

Пусть $\Theta_1 \to x, \Theta_2 \to y, \Theta_3 \to z, a_1 \to a, a_2 \to b, a_3 \to c, \rho_1 \to r, \rho_2 \to s, \rho_3 \to t$, тогда эта же система без индексов, и удобнее для CAS:

$\begin{cases} -a + t y + s x y - r y^2 - s z + t x z - r z^2 = 0\\ -b + t x - s x^2 + r x y - r z + t y z - s z^2 = 0\\ -c + s x - t x^2 - r y - t y^2 + r x z + s y z = 0 \end{cases}$