2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение02.10.2020, 23:16 


17/03/20
137
Добрый вечер, уважаемые форумчане! Возникла проблема, которую надо решить, но у меня не получается. Имеется система уравнений, ее надо решить аналитически, я выбрал для этого Maple, поскольку, как мне кажется, Matlab ее не решит. Она имеет вид:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 \Theta_{2}\rho_{3}-\rho_{2} \Theta_{3}+\Theta_{1}\Theta_{2}\rho_{2}-\rho_{1}{\Theta_{2}}^{2}+\rho_{3}\Theta_{1}\Theta_{3}-\rho_{1}{\Theta_{3}}^{2}=a_{1} \\
\Theta_{1}\rho_{3}-\rho_{1} \Theta_{3}+\Theta_{1}\Theta_{2}\rho_{2}-\rho_{2}{\Theta_{1}}^{2}+\rho_{3}\Theta_{2}\Theta_{3}-\rho_{2}{\Theta_{3}}^{2}=a_{2} \\
\Theta_{1}\rho_{2}-\rho_{1} \Theta_{2}+\Theta_{1}\Theta_{3}\rho_{1}-\rho_{3}{\Theta_{1}}^{2}+\rho_{2}\Theta_{2}\Theta_{3}-\rho_{3}{\Theta_{2}}^{2}=a_{3}  \\
\end{array}
\right.$$


Мне надо решить, как я упоминал уже, ее аналитически, привожу код в Maple:
Изображение


Решить систему необходимо относительно переменных $\Theta_{1},\Theta_{2},\Theta_{3}$.

Проблема в том заключается, что решение системы есть, и оно было найдено, но на это потребовалось 10 часов и 16 минут, а самое главное, что программа зависает, и не дает ни сохранить файл, ни скопировать результат вычислений, даже просто пк выключился. Не скажу что у меня стоит совсем плохое железо на ПК и ноуте, в обоих случаях имеются процессоры поддерживающие виртуальные ядра, и ОЗУ 16 Gb. Интересный факт: во время нахождения решения, процессор был в течение 9 часов нагружен на 98%, а в ОЗУ стабильно держалось 13 Gb.

Систему решить необходимо, но я не могу понять как, какие еще команды можно использовать, как можно ускорить данный процесс, можно ли провести, организовать параллельные вычисления для solve() из пакета SolveTools? Может можно решить в Matlab? Как заставить maple выдать результат? Очень нужна помощь, я правда не уже облазил справку, на других форумах почитал, но ничего... Что можно сделать в данной ситуации, какой совет?

Возникла острая необходимость в решении уравнений, уже неделю пытаюсь, поэтому обращаюсь. Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение03.10.2020, 07:47 
Заслуженный участник


25/02/11
1746
Попробуйте со всеми $\rho$ равными единице. Математика для этого случая считала меньше минуты, а потом несколько минут форматировала и выводила полный ответ. Он настолько большой, что при попытке прокрутки программа задвисает на несколько секунд. Возможно, в этом и проблема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение03.10.2020, 09:31 


17/03/20
137
Vince Diesel
Но это уже есть некоторое упрощение, т.е никак нельзя по-другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение03.10.2020, 10:33 
Заслуженный участник


25/02/11
1746
Вопрос в том, можно ли решение записать хоть сколько-нибудь коротко. А частный случай показывает, что может и нет. Кстати, во втором уравнении не $\Theta_{3}\rho_{1}-\rho_{3} \Theta_{1}$ случайно? Для симметричной системы ответ, вероятно, короче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение03.10.2020, 10:34 


16/08/05
1121
Изображение
Изображение

Применив результант как на скринах, на выходе получим два фактора - один второй степени, другой восьмой. Обычно только один из факторов равен нулю. Конечно уравнение восьмой степени аналитически не решабельно. Если Мэпл и решил что-то аналитически, то только три уравнения квадратных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение03.10.2020, 11:21 


17/03/20
137
Vince Diesel
Нет, не случайно

-- 03.10.2020, 11:25 --

dmd
Жаль, Maple вылетает, я к сожалению "Wolfram Mathematica" не осваивал... Но хотя бы понятно, что решение есть... Значит придется как-то выходить из этой ситуации

-- 03.10.2020, 11:28 --

dmd
Вы не могли бы полность код выложить, если не сложно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение03.10.2020, 12:06 


16/08/05
1121
Alm99 в сообщении #1485580 писал(а):
Но хотя бы понятно, что решение есть...

Ну я бы не спешил так утверждать. Говорю же, только один из факторов полинома одной переменной есть ноль. Определить, какой из факторов нулевой, можно снова некоторыми манипуляциями над исходной системой и фактором-кандидатом (нужно догадаться какими именно манипуляциями, мне сложно описать словами). На выходе должны получаться уже "знакомые" факторы. Если не получаются, значит кандидат-фактор - не нулевой. Тут проблема еще в том, что из-за плохой симметрии системы полином одной переменной над $\Theta_3$ у меня в Вольфраме не получается, тоже зависает. В отличие от $\Theta_1$ и $\Theta_2$.
И стоило бы перейти к переменным и коэффициентам без индексов, чтоб ими еще CAS не загружать в и без того тяжелых преобразованиях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение03.10.2020, 12:13 


17/03/20
137
dmd
странно, что не считается... :cry: :cry: Теперь понятна хотя бы запись Вами кода, Вы пытаетесь именно определить нулевой фактор, не решая прямо целиком систему, сразу относительно 3 переменных... Правда я все равно не знаю, что с этим делать! Спасибо за развернутый ответ, хотя бы есть продвижение...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение03.10.2020, 17:07 


16/08/05
1121
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
...+\Theta_{1}\Theta_{2}\rho_{2}...+\rho_{3}\Theta_{1}\Theta_{3}-... \\
...+\Theta_{1}\Theta_{2}\rho_{\text{\color{red}2}}...+\rho_{3}\Theta_{2}\Theta_{3}-... \\
...+\Theta_{1}\Theta_{3}\rho_{1}...+\rho_{2}\Theta_{2}\Theta_{3}-...  \\
\end{array}
\right.$$


В этих термах симметрия нарушена, хотя в остальных она присутствует. Точно в индексах нет ошибки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение03.10.2020, 19:22 


17/03/20
137
dmd
Ошибок нет, это правильная модель

-- 03.10.2020, 19:45 --

dmd
Есть ошибка... Исправил, буду смотреть

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение03.10.2020, 20:43 


17/03/20
137
dmd
Хотя Вы знаете, уважаемый dmd, ничего не меняется. 7 часов считал, я исправил ошибку и уже почти час он опять считает и решает, без всякого толка, я конечно, буду ждать, но :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение03.10.2020, 23:25 


16/08/05
1121
После исправления индекса полином над $\Theta_3$ построился. Для $\Theta_1$ и $\Theta_2$ тоже перестроил полиномы. Для рандомных значений коэффициентов нашел численное решение системы и подставил в полученные полиномы, чтоб посмотреть, какой из факторов является нулевым. В итоге нулевые факторы для всех переменных - полиномы четвертой степени. Т.е. система аналитически решабельна.

Выглядит это примерно так, для одной из переменных:
Изображение
Видно, что квадратный фактор не обнулился, а фактор четвертой степени похож на ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение04.10.2020, 09:27 


17/03/20
137
dmd
Я исправил исходную систему, там была ошибка, как мне сказали, но я все равно несмотря на то, что она решаема, не могу получить решения. 6 часов вычислений и ничего... А система выглядит так теперь:
Изображение


Код программы тот же. Вот численно, система решается, но как заставить символьно решить, я не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение04.10.2020, 09:38 
Заслуженный участник


20/12/10
8275
Alm99
В Maple есть пакет Groebner, можно поэкспериментировать с ним.

Да, и вместо картинок помещали бы лучше код как таковой. (Я бы попробовал, но мне лень перенабирать систему уравнений).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение системы уравнений в аналитическом виде (Maple)
Сообщение04.10.2020, 09:56 


16/08/05
1121
Alm99
А Вы не могли бы объяснить, что в итоге затем собираетесь делать с полученным аналитическим решением (если получите, конечно). Ведь оно даже в виде трёх однопеременных полиномов 4-й степени выглядит ужасающе. Как оно будет выглядеть в радикальной форме? Страшно представить. Если ожидаете, что CAS выдаст компактное решение на пол-экрана, то вряд ли. Будет экранов 30, не меньше, сплошных радикалов 2-й и 3-й степени. В таком виде оно просто никак и нигде не применимо, априори. И, скорее всего, CAS делает тоже самое, что показано выше, т.е. вычисляет результанты, только вряд ли выделяет в них факторы, ибо нет хорошего алгоритма определить, какой из факторов нулевой; и в общем случае, когда в системе нет симметрии, факторы не обязаны выделяться, поэтому, думаю, алгоритмы CAS вряд ли заморачиваются с факторами.

Пусть $\Theta_1 \to x, \Theta_2 \to y, \Theta_3 \to z, a_1 \to a, a_2 \to b, a_3 \to c, \rho_1 \to r, \rho_2 \to s, \rho_3 \to t$, тогда эта же система без индексов, и удобнее для CAS:

$\begin{cases}
-a + t y + s x y - r y^2 - s z + t x z - r z^2 = 0\\
-b + t x - s x^2 + r x y - r z + t y z - s z^2 = 0\\
-c + s x - t x^2 - r y - t y^2 + r x z + s y z = 0
\end{cases}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: maxal, Toucan, PAV, Karan, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group