Числа Фибоначчи и треугольники Герона

[dmd]

Например

(a,b,c) = (43, 59, -47)
(A,B,C) = (11565, -188, -1)

[maxal]

dmd в сообщении #1485196 писал(а):

Например

(a,b,c) = (43, 59, -47)
(A,B,C) = (11565, -188, -1)

? bnfisnorm( bnfinit( x^2 + 43*59 ), 47*43, 0 )
%63 = [Mod(256420604537/291038813883*x + 2091491150354/291038813883, x^2 + 2537), 1]
? bnfisnorm( bnfinit( x^2 + 11565*(-188) ), 11565*(-1), 0 )
%64 = [Mod(617/86*x - 454890/43, x^2 - 2174220), 43]

Соответственно для первой тройки имеем решение: [48639329078, 256420604537, 291038813883], хотя небольшим перебором можно найти и меньшее решение: [11, 50, 57].
А вот для второй решения с ненулевым $z$ нет ("If bnf is known to be Galois, set flag=0 (in this case, x is a norm iff b=1).").

[dmd]

(Оффтоп)

Имелось ввиду, что это один пример. Маленькие $a,b,c$ это коэффициенты биквадратного уравнения, для которого высчитаны большие $A,B,C$ для $Ax_0+By_0+Cz_0=0$. В общем понятно, спасибо. Значит на этом шаге вычисления $x_0,y_0,z_0$ тоже можно делать вывод о существовании решений для исходно биквадратного.

[maxal]

maxal в сообщении #1485210 писал(а):

Соответственно для первой тройки имеем решение: [48639329078, 256420604537, 291038813883], хотя небольшим перебором можно найти и меньшее решение: [11, 50, 57].

Я задал вопрос о минимизации размера решения авторам PARI/GP, и они предложили qfsolve() как альтернативу bnfisnorm(), позволяющую находить маленькие решения для квадратичных расширений. Получается даже прямолинейнее:

? qfsolve(matdiagonal([43, 59, -47]))
%151 = [-21, 10, -23]~

[dmd]

Для некоторых наборов коэффициентов qfsolve даёт нулевые решения:

(A,B,C) = (40, 7, -28)
qfsolve: [0, 2, 1]~
перебор: [14, 6, 17]

(A,B,C) = (-8, 8, 74)
qfsolve: [1, -1, 0]~
перебор: [19, 18, 2]

(A,B,C) = (36, 59, -49)
qfsolve: [-7, 0, 6]~
перебор: [17, 30, 36], [55, 24, 54]

И не всегда минимальные:

(A,B,C) = (58, 95, -47)
qfsolve: [-6, 11, -17]~
перебор: [8, 1, 9]

(A,B,C) = (36, 46, -95)
qfsolve: [11, 42, 30]~
перебор: [7, 6, 6]

[maxal]

dmd, отдельные нулевые элементы нам не страшны, важно наличие хотя бы одного ненулевого.
А маленькие не значит минимальные. Для минимальности (которая нам по сути не так важна) нужно крутить qfparam как описано в ответе Билла.