Контур

[chislo_avogadro]

Контур-полукольцо, который имелся ввиду




-- 22.09.2020, 22:32 --

EUgeneUS в сообщении #1484165 писал(а):

chislo_avogadro в сообщении #1484162 писал(а):

то по-моему это условие излишне. Если провод лежит в плоскости контура, то ведь момента нет (нулевой), разве нет?

"Плоскость контура перпендикулярна проводу" и "провод лежит в плоскости контура" не исчерпывают все варианты.

Да, но это не кажется слишком большим затруднением, потому как всё можно сделать в векторном виде, используя магнитный момент контура.

[dovlato]

Да, моё решение такое же. Прошу прощения за то, что не указал, что контур плоский и он перпендикулярен проводу. Когда я писал условие, у меня было представление (надежда), что требование максимума момента сможет заменить те уточнения. Видимо, это была моя ошибка.
Но само решение мне показалось таким занятным, что оно стоило того, чтобы показать народу допрежь уточнения всех деталей.

[Ignatovich]

dovlato в сообщении #1484356 писал(а):

Но само решение мне показалось таким занятным, что оно стоило того, чтобы показать народу допрежь уточнения всех деталей.

Результат, действительно, интересный. Понятно, что одну из полуокружностей контура можно развернуть на 180 градусов. Тогда контур будет охватывать прямой провод, а момент останется прежним. Кажется, можно доказать, что найденные конфигурации обеспечивают максимальный момент. Но как вы нашли решение? Научите...

[dovlato]

Давайте я напишу на днях, после работы. Я вообще-то как раз писал векторные уравнения, смотрел на не берущиеся интегралы..а присмотревшись к подынт. ф-ции, наткнулся вот на это же решение. Кстати, хорошая идея замкнуть контур вокруг проводника в голову не пришла. Не знаю, существуют ли ещё решения.

[AnatolyBa]

Я решал достаточно в лоб, даже теорему Стокса не применял, хотя и хотелось.
После некоторых математических манипуляций получился интеграл $\int\limits_{}^{}R(\varphi) \sin(\varphi)d\varphi$
где $R(\varphi)$ - расстояние от точки пересечения прямого провода с плоскостью контура (центра координат) до контура по лучу направленному под углом $\varphi$ к некоторой фиксированной оси.
Для выпуклого контура с центром координат внутри него - пределы интегрирования от $0$ до $2\pi$
Тогда понятно, что максимальное значение момента получается при $R=R_{\max}$ для положительных синусов и $R=R_{\min}$ для отрицательных.
Если же контур не выпуклый, то структура интеграла получается сложнее, нужно более аккуратное исследование, но понятно, что скажем допустив петли, мы можем получить сколь угодно большой момент

[chislo_avogadro]

Теорему Стокса я тоже не применял, по крайней мере непосредственно, но она дала следующую наводку.

При рассмотрении магнитного момента контур можно разбить на ячейки, каждая обтекается током $i$. Далее берутся две ячейки, расположенные на одном диаметре, проходящем через длинный провод и находящиеся от него на одинаковых расстояниях. Вращающие моменты этих двух ячеек в сумме дадут ноль.

[Ignatovich]

AnatolyBa в сообщении #1484420 писал(а):

Тогда понятно, что максимальное значение момента получается при $R=R_{\max}$ для положительных синусов и $R=R_{\min}$ для отрицательных.
Если же контур не выпуклый, то структура интеграла получается сложнее, нужно более аккуратное исследование, но понятно, что скажем допустив петли, мы можем получить сколь угодно большой момент

Вот спасибо. Я к такому же интегралу задачу свел, но до простого способа его минимизации, как у вас, не додумался.
Что касается петель (без самопересечений), то они, кажется, приводят лишь к уменьшению момента сил. Для доказательства можно рассмотреть бесконечно малую петлю на границе контура chislo_avogadro, вычислить дополнительный момент и показать, что он всегда уменьшает момент сил, действующий на контур.

[chislo_avogadro]

Ignatovich в сообщении #1484496 писал(а):

Для доказательства можно рассмотреть бесконечно малую петлю на границе контура chislo_avogadro, вычислить дополнительный момент и показать, что он всегда уменьшает момент сил, действующий на контур.

Дам своё доказательство, но фактически это повторение.

1. Если добавлять петли к контуру chislo_avogadro вдоль какого-либо радиуса, то это будет равносильно увеличению $L$, а оно задано. Ну, можно убавить петлю, т.е. сделать петлю-вырезку - ясно, что это ведёт дело в сторону противоположную от желаемой.
2. Если добавить петлю "с торца" - так, что дуга контура превзойдёт полукольцо, т.е. охватит угол уже не $\pi$, а \displaystyle{$\pi + d\varphi}$, то на диаметрально противоположном конце дуги контура возникнет площадка $d\varphi$, момент которой будет равен по величине и обратен по знаку моменту добавленной петли. Тем самым общий момент уменьшится.