Контур

[dovlato]

Рассматривается плоский тонкий проводящий замкнутый контур, и бесконечный прямой провод.
По контуру и по проводу протекают токи единичной величины.
Максимальное расстояние точек контура от провода больше их минимального расстояния на $L$.
Найти максимально возможное значение вращающего момента.

[fred1996]

Наверное следует как-то конкретизировать (фиксировать) периметр контура, или его площадь. И задать минимальную дистанцию до провода.

[svv]

А меня беспокоит, что непонятно, относительно какой точки считать момент силы. Поскольку равнодействующая сила не равна нулю, выбор точки имеет значение.

[dovlato]

Пусть плоскость контура будет перпендикулярна проводнику.
Пусть он будет осесимметричным, с осью, проходящей через проводник и,
следовательно, перпендикулярной ему. Строго не доказывал, но мне кажется,
при этом в принципе достигается максимум вращающего момента.
Момент, естественно, относительно этой оси.

[fred1996]

Опять же, какую осесимметричную фигуру вы имеете ввиду? Круг, прямоугольник, правильный многоугольник?

[chislo_avogadro]

Если магнитное поле провода $\displaystyle{B = \frac{\mu_0}{2\pi}I}$ (это о единицах измерения), то

$\displaystyle{\frac{\mu_0}{\pi}iIL}$,

для контура в виде полукольца, провод на оси вращения кольца.

[svv]

Беря очень длинный контур (в исходной формулировке), можно получать неограниченно большой момент силы. Так можно догадаться, что длину варьировать нельзя. Но гадать не хочется. Если какой-то параметр нельзя варьировать, прошу Вас указать это: «Рассматривается плоский тонкий проводящий замкнутый контур длины $\ell$», или ещё как-то. Ясность превыше лаконичности.

[dovlato]

Я подумаю.. Пока что кажется, что ничего более не требуется указать, кроме того что контур плоский, его плоскость перпендикулярна проводнику, и разность максимального и минимального расстояний точек контура от проводника равна $L$.
Не понимаю, как при таких условиях можно достичь бесконечного вращающего момента.
Зато, по-моему, эти условия, вместе с требованием достижения максимума момента определяет и множество возможных форм этого жёсткого контура. Если угодно, приведу своё решение, на ваш суд.
Очевидно, вращение будет вокруг оси симметрии контура; он будет стремиться развернуться, чтобы проводник оказался в плоскости контура. Если не ошибаюсь(?), результирующая сила будет равна нулю для любого плоского замкнутого контура, если его плоскость перпендикулярна проводнику.

[chislo_avogadro]

dovlato в сообщении #1484061 писал(а):

Пока что кажется, что ничего более не требуется указать, кроме того что контур плоский, его плоскость перпендикулярна проводнику, и разность максимального и минимального расстояний точек контура от проводника равна $L$.

Приведу в подтверждение этого свои соображения.

Момент, будучи векторным произведением магнитного момента контура на $\vec B$, пропорционален площади контура (его можно разбить на ячейки в духе теоремы Стокса). Значит, надо максимировать площадь при заданном $L$. Для этого годится часть кольца. Какая часть? Ясно, чем "длиннее", тем лучше, но если кольцо охватит угол больше $\displaystyle\pi$, момент начнёт убывать. Следовательно, полукольцо даёт максимум.
А от радиуса (полу)кольца, как оказалось, момент не зависит, поскольку $B \propto 1/r$...

[svv]

dovlato в сообщении #1484061 писал(а):

Не понимаю, как при таких условиях можно достичь бесконечного вращающего момента.

Спасибо за уточнение. В исходной формулировке можно было взять прямоугольный контур, у которого 2 очень длинные стороны параллельны бесконечному проводу.

[dovlato]

Мне лучше бы было сразу указать, что плоскость (произвольного плоского) контура перпендикулярна плоскости контура. Приеду с работы, напишу.

[AnatolyBa]

dovlato в сообщении #1484085 писал(а):

плоскость (произвольного плоского) контура перпендикулярна плоскости контура

Так, думаю я понял, что вы имеете в виду. И еще, если я правильно понял вашу мысль, нужно бы указать, что момент следует считать относительно точки пересечения прямого провода с плоскостью контура.
И, на мой взгляд, было бы желательно для избежания лишних усложнений (хотя и не обязательно) указать, что провод пересекает плоскость контура внутри него.
Тогда, кажется, формулу chislo_avogadro можно доказать строго, хотя я и не вполне понял о каком контуре он говорит.

[chislo_avogadro]

dovlato в сообщении #1484085 писал(а):

Мне лучше бы было сразу указать, что плоскость (произвольного плоского) контура перпендикулярна плоскости контура.

Это неясно, но если Вы имели ввиду

dovlato в сообщении #1484061 писал(а):

что контур плоский, его плоскость перпендикулярна проводнику,

то по-моему это условие излишне. Если провод лежит в плоскости контура, то ведь момента нет (нулевой), разве нет? Все силы здесь лежат в плоскости контура. Решающим образом зависит, впрочем, от того, кто какую геометрическую конфигурацию себе представляет...

AnatolyBa в сообщении #1484115 писал(а):

... хотя я и не вполне понял о каком контуре он говорит.

Извиняюсь за неясность изложения, вечером сделаю рисунок.

[EUgeneUS]

chislo_avogadro в сообщении #1484162 писал(а):

то по-моему это условие излишне. Если провод лежит в плоскости контура, то ведь момента нет (нулевой), разве нет?

"Плоскость контура перпендикулярна проводу" и "провод лежит в плоскости контура" не исчерпывают все варианты.

[AnatolyBa]

И еще контур должен быть, не знаю как бы это грамотно математически сформулировать, выпуклым? Односвязным на плоскости с проколотой точкой?
Иначе можно накрутить много-витковый контур с любым моментом