Интеграл в смысле Коши.

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
Не могу разобраться с интегралом

$$\text{p.v.}\int_0^{+\infty}e^{\frac{1}{x}-x}dx$$

Пытаюсь контурным интегрированием

Интеграл по всему контуру

$$\int\limits_{C_1+C_R+C_2+C_{\varepsilon}^+} e^{\frac{1}{x}-x}dx=2\pi i J_1(2),$$

где $J_1(x)$ функция Бесселя первого рода.
Это исходя из

$${ e^{{\frac {z}{2}}=\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}}\, \, \text{и}\,\, J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).$$

Вроде не сложно показывается, что интеграл (есть сомнения) $\int\limits_{\textit{С}_R} e^{\frac{1}{x}-x}dx$$ при $R\to +\infty$ равен нулю:

$$\left|\int_{C_R}e^{\frac{1}{z}-z}dz\right|\le\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\left|e^{\cos\phi (\frac1R-R)} R \right|d\phi \underbrace{\le }_{ \phi^*\in(0,\frac{\pi}{2}) }Re^{\cos\phi^* (\frac1R-R)}\underbrace{\longrightarrow }_{ R\to\infty }0$$

Однако, я не смог "связать" интегралы по $C_2$ и $C_1$ между собой (хотя в начале показалось, что мнимая часть по $C_2$ соответствует интегралу по $C_1$), тем более вычислить интеграл по $C_\varepsilon^+$.
Выбор $C_\varepsilon^+$ вместо $C_\varepsilon^-$ ничем не помогает. Как я понимаю, что проблемы связаны с тем, что точка $x=0$ существенная особая для подинтегральной функции. Ну и плюс она на одном из концов интегрирования.
Заранее благодарен за любые разъяснения.

[vpb]

Что-то Вы напутали. Подъинтегральная функция везде положительна, так что говорить о "главном значении" вообще бессмысленно. Он просто или сходится, к вполне определенному значению, или расходится. (Сходится или расходится в данном случае --- подумайте сами.)

[TelmanStud]

vpb
Ой. А как его взять?!
Просто я вижу, что Wolfram справляется с ним!

[vpb]

Допрежь всего,

vpb в сообщении #1481957 писал(а):

(Сходится или расходится в данном случае --- подумайте сами.)

-- 04.09.2020, 01:21 --

А почему там с ним Вольфрам справляется --- это к Вольфраму вопрос. Может Вы что-то ввели неправильно (скорее всего), а может в Вольфраме ошибка.

[TelmanStud]

vpb
В бесконечности проблем нет, функция спадает слишком быстро. А в нуле, в нуле проблемы со сходимостью...
Но все таки не пойму

Integrate[E^(1/t - t), {t, 0, Infinity}, PrincipalValue -> True]

Результат: $-\pi Y_1(2)$
при этом

Integrate[E^(1/t - t), {t, 0, Infinity}]

Результат:Integral does not converages

-- 04.09.2020, 03:35 --

Плюс все таки, что то (единственное) нашел на просторах https://math.stackexchange.com/question ... 35_3813029

[vpb]

Ну не знаю, что бы прокомментировать ... Тот, что Вы написали, расходится, а то, что нашли в тырнетах --- сходится. Вообще, не знаю, какая Ваша специальность, но различать, где сходящийся, а где нет --- имхо, полезнее, чем знать что-то про Бесселя.

(Оффтоп)

Я вот вообще ничего не знаю, и не жужжу...

[TelmanStud]

vpb
А по мне у него опечатка
$\int_{0}^{\infty} e^{ax-b/x}dx=C\cdot K_{\nu}(2\sqrt{-ab}),\,a>0,\,b>0$

-- 04.09.2020, 04:14 --

vpb
Спасибо в любом случае!

[Vince Diesel]

То, что математика выдает - это аналитическое продолжение интеграла для функции $e^{-a/t-t}$ на значения $a=-1$. Вполне себе регуляризация Возможно, находится первообразная и главное значение получается с помощью вычисления ее пределов. Это бы объяснило результат.

[TelmanStud]

Vince Diesel
Спс!