2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл в смысле Коши.
Сообщение04.09.2020, 01:36 
Аватара пользователя


05/04/13
556
Доброго времени суток!
Не могу разобраться с интегралом
$$\text{p.v.}\int_0^{+\infty}e^{\frac{1}{x}-x}dx$$

Пытаюсь контурным интегрированием
Изображение
Интеграл по всему контуру $$\int\limits_{C_1+C_R+C_2+C_{\varepsilon}^+} e^{\frac{1}{x}-x}dx=2\pi i J_1(2),$$ где $J_1(x)$ функция Бесселя первого рода.
Это исходя из $${ e^{{\frac {z}{2}}=\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}}\, \, \text{и}\,\,  J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).$$
Вроде не сложно показывается, что интеграл (есть сомнения) $\int\limits_{\textit{С}_R} e^{\frac{1}{x}-x}dx$$ при $R\to +\infty$ равен нулю:
$$\left|\int_{C_R}e^{\frac{1}{z}-z}dz\right|\le\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\left|e^{\cos\phi (\frac1R-R)} R \right|d\phi \underbrace{\le  }_{ \phi^*\in(0,\frac{\pi}{2}) }Re^{\cos\phi^* (\frac1R-R)}\underbrace{\longrightarrow   }_{ R\to\infty }0$$
Однако, я не смог "связать" интегралы по $C_2$ и $C_1$ между собой (хотя в начале показалось, что мнимая часть по $C_2$ соответствует интегралу по $C_1$), тем более вычислить интеграл по $C_\varepsilon^+$.
Выбор $C_\varepsilon^+$ вместо $C_\varepsilon^-$ ничем не помогает. Как я понимаю, что проблемы связаны с тем, что точка $x=0$ существенная особая для подинтегральной функции. Ну и плюс она на одном из концов интегрирования.
Заранее благодарен за любые разъяснения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение04.09.2020, 02:03 
Заслуженный участник


18/01/15
2654
Что-то Вы напутали. Подъинтегральная функция везде положительна, так что говорить о "главном значении" вообще бессмысленно. Он просто или сходится, к вполне определенному значению, или расходится. (Сходится или расходится в данном случае --- подумайте сами.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение04.09.2020, 02:11 
Аватара пользователя


05/04/13
556
vpb
Ой. :oops: А как его взять?!
Просто я вижу, что Wolfram справляется с ним!

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение04.09.2020, 02:19 
Заслуженный участник


18/01/15
2654
Допрежь всего,
vpb в сообщении #1481957 писал(а):
(Сходится или расходится в данном случае --- подумайте сами.)


-- 04.09.2020, 01:21 --

А почему там с ним Вольфрам справляется --- это к Вольфраму вопрос. Может Вы что-то ввели неправильно (скорее всего), а может в Вольфраме ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение04.09.2020, 02:30 
Аватара пользователя


05/04/13
556
vpb
В бесконечности проблем нет, функция спадает слишком быстро. А в нуле, в нуле проблемы со сходимостью...
Но все таки не пойму
Код:
Integrate[E^(1/t - t), {t, 0, Infinity}, PrincipalValue -> True]

Результат: $-\pi Y_1(2)$
при этом
Код:
Integrate[E^(1/t - t), {t, 0, Infinity}]

Результат:Integral does not converages

-- 04.09.2020, 03:35 --

Плюс все таки, что то (единственное) нашел на просторах https://math.stackexchange.com/question ... 35_3813029

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение04.09.2020, 02:59 
Заслуженный участник


18/01/15
2654
Ну не знаю, что бы прокомментировать ... Тот, что Вы написали, расходится, а то, что нашли в тырнетах --- сходится. Вообще, не знаю, какая Ваша специальность, но различать, где сходящийся, а где нет --- имхо, полезнее, чем знать что-то про Бесселя.

(Оффтоп)

Я вот вообще ничего не знаю, и не жужжу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение04.09.2020, 03:07 
Аватара пользователя


05/04/13
556
vpb
А по мне у него опечатка
$\int_{0}^{\infty} e^{ax-b/x}dx=C\cdot K_{\nu}(2\sqrt{-ab}),\,a>0,\,b>0$

-- 04.09.2020, 04:14 --

vpb
Спасибо в любом случае!

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение04.09.2020, 09:59 
Заслуженный участник


25/02/11
1763
То, что математика выдает - это аналитическое продолжение интеграла для функции $e^{-a/t-t}$ на значения $a=-1$. Вполне себе регуляризация :-) Возможно, находится первообразная и главное значение получается с помощью вычисления ее пределов. Это бы объяснило результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл в смысле Коши.
Сообщение05.09.2020, 15:59 
Аватара пользователя


05/04/13
556
Vince Diesel
Спс!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group