Тригонометрический ряд Фурье

[Paul Ivanov]

Добрый день.
Возник следующий вопрос: верно ли, что любой тригонометрический вещественный ряд Фурье на отрезке $[-\pi,\pi]$ сходится в смысле сходимости в $\mathcal{L}_2$, то есть для любого тригонометрического ряда Фурье

$$S=\sum\limits_{i=0}^{\infty} a_i\varphi_i(x)$$

, где ($\varphi_0(x)=1,\varphi_1(x)=\sin(x),\varphi_2(x)=\cos(x),\varphi_3(x)=\sin(2x)$ ...) найдётся такая вещественная функция f(x) (не обязательно из $\mathcal{L}_2(-\pi,\pi)$), что

$$\lim\limits_{m\to\infty}^{} \int\limits_{-\pi}^{\pi} |f(x)-S_m(x)|^2 dx=0$$

?
Сам смог прийти только к следующему:
1. Если для функции $f(x)$ найдётся такой ряд Фурье, то он единственен
2. Для любой непрерывной функции такой ряд найдётся (этот вывод сделал из равномерной сходимости ряда фурье к любой непрерывной функции на выбранном отрезке с равными значениями на концах)
Насколько понял из википедии, если функция принадлежит $\mathcal{L}_2(-\pi,\pi)$, то есть измерима и интегрируема в своей второй степени на этом отрезке, то она раскладывается в такой ряд (естественно не в смысле поточечной сходимости).
"с чем едят" измеримые функции не знаю, даже определение понять не могу, видимо, у меня ещё слишком узкое представление о пространствах.
То, что ряд Фурье может расходиться поточечно и тем более равномерно, вполне понятно. А вот как быть со сходимостью в среднем квадратичном...
Прошу быть снисходительным к узости моего кругозора в этой области.

[mihaild]

А можете ли вы привести пример ряда Фурье, который в смысле $\mathcal L_2$ сходится к функции не из $\mathcal L_2$?

[Paul Ivanov]

https://ru.wikipedia.org/wiki/Lp_(%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE)#%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_L%C2%B2 здесь я читал определение $\mathcal{L}_p$
и насколько я понял по теореме Риса - Фишера, последовательность функций из $\mathcal{L}_2(-\pi,\pi)$ сходится к функции из этого же пространства в смысле сходимости в $\mathcal{L}_2$ только в том случае, если
она фундаментальна. Верно ли будет заключить, что она в этом смысле вообще сходится только в том случае, если
она фундаментальна? По-моему это не очевидно, так как мы полагаем, что результирующая функция может быть абсолютно произвольной.
Если я мыслю не в том направлении, пожалуйста поправьте меня.

[mihaild]

(Оффтоп)

Я бы предложил вам почитать что-то по теории (например Богачев, Смолянов "Действительный и функциональный анализ").

Теорема Риса-Фишера тут не нужна. Пусть $\|f - g\|_2 < x$ и $\|g\|_2 < y$. Что можно сказать о $\int_{-\pi}^\pi f^2(x)\, dx$?

[vpb]

Paul Ivanov в сообщении #1482099 писал(а):

этот вывод сделал из равномерной сходимости ряда фурье к любой непрерывной функции на выбранном отрезке с равными значениями на концах

Бог с Вами. Существуют непрерывные периодические функции, для которых их ряд Фурье расходится в некоторой точке. Однако, любая непрерывная периодическая функция действительно равномерно приближается тригонометрическими многочленами, с любой точностью. (Возможно, сейчас Вы не видите, что это разные свойства функции, но когда-нибудь непременно дозреете).

Если сумма $\sum|a_i|^2$ сходится, то имеется измеримая фунция, ряд Фурье которой --- это $\sum a_i\varphi_i(x)$. Это следует из того, что пространство $L_2(-\pi,\pi)$ полно. И эта измеримая функция, естественно, лежит в $L_2$.

С другой стороны, если $\sum|a_i|^2$ расходится, то измеримой функции $f$ такой, что

$$\lim_{m\longrightarrow\infty}\int_{-\pi}^\pi |S_m(x)-f(x)|^2\, dx=0, $$

не существует. Действительно, если бы она существовала, то $\{S_m(x)\}$ было бы фундаментальной последовательностью в $L_2(-\pi,\pi)$ (подумайте, почему; это легко), а тогда сумма квадратов коэффициентов бы сходилась.

Вам, в самом деле, по этим вопросам почитать надо. Насчет почитать --- Колмогоров-Фомин попроще будет. Богачев-Смолянов обширнее и круче (и я его не читал). А Рудин (функан) вообще довольно абстрактный, вряд ли пойдет.

[Paul Ivanov]

Понял, буду работать

[Murat577]

vpb в сообщении #1482135 писал(а):

Paul Ivanov в сообщении #1482099 писал(а):

этот вывод сделал из равномерной сходимости ряда фурье к любой непрерывной функции на выбранном отрезке с равными значениями на концах

Бог с Вами. Существуют непрерывные периодические функции, для которых их ряд Фурье расходится в некоторой точке. Однако, любая непрерывная периодическая функция действительно равномерно приближается тригонометрическими многочленами, с любой точностью. (Возможно, сейчас Вы не видите, что это разные свойства функции, но когда-нибудь непременно дозреете).

Как раз изучаю эту тему (2й курс МехМата) и возник такой вопрос: для сходимости в точке требуется дополнительный признак Дини (а как следствие существование правой и левой производной), но правильно ли я понял, что сумма Фейера сходится во всех точках без дополнительных требований ?

[Padawan]

Да, суммы Фейера непрерывной $2\pi$ периодической функции сходятся к ней равномерно на всей прямой. А к функции из $L_1$ суммы Фейера сходятся почти всюду.