Тензор перехода в кинематической паре

[Alm99]

Добрый вечер, уважаемые форумчане. Прошу помощи разобраться, пишу дипломную работу/отчет по практике. Тема работы, суть, заключается в том, что стоит попробовать записать выражения для коррекции объемной погрешности станка с помощью тензоров, в частности описать переход между отдельными звеньями, записать модель обобщенных перемещений с помощью тензоров, так сказать описывать движение рабочих органов станка как движение в римановом пространстве. Для кинематической пары, где оба звена плоские, например салазки поперечные, на которых расположены салазки продольные, у меня получилось вывести подобный тензор перехода, однако, в случае с вращательной парой это довольно проблематично.

Рассматриваю все преобразования в криволинейных координатах, проблема в том, что одно из звеньев (планшайба), я метрический тензор могу записать в том виде, в котором он в принципе записан в любом учебнике по дифференциальной геометрии, а вот движение второго звена (корпуса планшайбы) приходится рассматривать в декартовых косоугольных координатах, т.е там метрический тензор будет записан в виде:

$$\begin{bmatrix} 1&\cos\theta_{12}&\cos\theta_{13} \\ \cos\theta_{21}&1&\cos\theta_{23} \\ \cos\theta_{31}&\cos\theta_{32}&1 \end{bmatrix}$$

В качестве радиуса, для описания движения в цилиндрической системе координат выбирается радиус планшайбы, так вот, моя задача, моя идея состит в том, что записать взаимный метрический тензор, при переходе от системы координат $O_{5}X_{5}Y_{5}Z_{5}$ (система координат выбранная для планшайбы, ее я преобразую в цилиндрическую), к системе координат $O_{4}X_{4}Y_{4}Z_{4}$, принадлежащей к поворотному столу. Я не могу сообразить, как записать этот метрический взаимный тензор, как будет происходить его преобразование, при переходе из одной СК в другую ( сам метрический тензор постоянен), но я путаюсь, поскольку я ввожу две разные метрики, и не могу понять, как выглядит взаимный метрический тензор. Ниже прикреплю картинку, чтобы яснее стало описание, пояснение рисунком текста, чтобы правильно понять вопрос.

На картинке как раз изображено соединение тех самых звеньев, как осуществлена привязка системы координат.

[pogulyat_vyshel]

Может сначала надо посмотреть как вообще координируют положение твердого тела, углы Эйлера, углы Крылова, а потом уже индикаторы лепить исходя из.

[Alm99]

pogulyat_vyshel
Индикаторы для измерения не должны мешать, на самом деле декомпозицию станка автор работы рассматривал сам, это не моя схема измерений, автор работы другой человек,а поскольку в вузах станкостроительной специальности такой матаппарат не изучают, то никто прежде и не думал тензоры использовать. У меня же цель переписать матрицы обобщенных перемещений в однородных координатах в тензорном формализме... Если рассматривать углы Эйлера, то будет гораздо сложнее, как мне кажется вводить тензор поворота, описывающий повороты вокруг каждой из осей, а еще, не понимаю как мне это поможет записать взаимный тензор.

-- 01.09.2020, 21:32 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1481604 писал(а):

Может сначала надо посмотреть как вообще координируют положение твердого тела, углы Эйлера, углы Крылова, а потом уже индикаторы лепить исходя из.

Вы поясните, я к сожалению не совсем понял Ваши размышления...

[svv]

Alm99
Очень многое непонятно. Может быть, потому, что я не разбираюсь в станках.
Что такое модель обобщённых перемещений?
Что такое матрица обобщённых перемещений?
Зачем надо рассматривать движение в римановом пространстве? (выглядит как ненужное усложнение) Не имеете ли Вы в виду многомерное конфигурационное пространство?
Как связаны планшайба и её корпус? Как они могут двигаться друг относительно друга?
Как связаны корпус планшайбы и поворотный стол? Как они могут двигаться друг относительно друга? Может быть, про поворотный стол можно вообще не упоминать?
Почему нельзя рассматривать прямоугольные декартовы координаты? В крайнем случае — цилиндрические.
Что такое взаимный метрический тензор? (тут я догадываюсь, но лучше, если Вы уточните — для уверенности, что подразумеваем одно и то же)
Можете ли Вы выразить явно координаты $(x_5,y_5,z_5)$ через $(x_4,y_4,z_4)$ и обратно?

Желательно начать с вопроса: Как связаны планшайба и её корпус? Как они могут двигаться друг относительно друга?

[Alm99]

svv

Вас понимаю, надо было изначально расписать все подробнее. Отвечаю по порядку, постараюсь наиболее кратко, но без потери сущности.

Цитата:

Что такое модель обобщённых перемещений? Что такое матрица обобщённых перемещений?

Рассмотрим две системы координат, одна и та же точка в каждой из них будет иметь различное значение компонент, за исключением случая, когда системы координат совпадают. Пусть имеем систему координат $S_{i}$ и $S_{i-1}$. Тогда радиус-вектор для каждой из данных систем координат будут связаны между собой следующим преобразованием:

$r_{i-1}=A_{i-1,i}r_{i}$

где, $A_{i-1,i}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Нули в последней строке говорят о том, что это проективное преобразование, параллельный перенос системы координат $S_{i-1}$ в $S_{i}$
Обобщенные перемещения этих систем координат будут иметь вид как на картинках:

Математически это описывается матрицами обобщенных перемещений (используются однородные координаты)

Цитата:

Зачем надо рассматривать движение в римановом пространстве? (выглядит как ненужное усложнение) Не имеете ли Вы в виду многомерное конфигурационное пространство?

В ЧПУ считается, что координатные оси прямоугольные, а перемещения по ним осуществляются совершенно точно. То есть метрический тензор - единичный, а координаты декартовы. На самом же деле, оси как-то искривлены (поэтому рассматриваю метрический тензор в косоугольных декартовых координатах), и движение по ним происходит неравномерно в том смысле, что одинаковые приращения координат по ЧПУ приводят к разным перемещениям в зависимости от того, на каком участке оси это происходит. Это можно записать на тензорном языке. Координаты в ЧПУ при этом надо рассматривать как обобщённые, а сам метрический тензор не единичен, имеет внедиагональные компоненты, да ещё и нелинейно зависит от обобщённых координат. То есть имеем пространство переменной кривизны.
При обработке детали на станке известна траектория, которую рабочий орган должен описывать, но в идеальных координатах.
Задача коррекции объёмной погрешности сводится теперь к пересчёту координат в системе ЧПУ таким образом, чтобы эта
идеальная кривая была бы описана, но при управлении по обобщённым координатам с учётом кривизны пространства.

Я рассматриваю пространство переменной кривизны для того чтобы в тензорном виде переписать данные матрицы обобщенных перемещений, а также данная идея возникла в связи с острой необходимостью: сейчас измерение объемной точности станка сложная комплексная задача, измерение происходит в каждой точке рабочего пространства станка (области перемещений его рабочих органов и самой заготовки), получается набор точек, а затем происходит выбор такой точки, что ее расстояние от остальных, минимально, при этом, считается что все точки описывают идеальные перемещения узлов машины, а затем к этой точке приводится система координат станка, и поэтому коррекция объемной погрешности, точности требует много ресурсов вычислительных, а если использовать аппарат дифференциальной геометрии, то совершенно иным образом изменяется стратегия проведения измерений и коррекции, т.е можно строить оптимальные кривые в пространстве, оптимальные траектории,которые близки к идеальным координатам в ЧПУ.

Цитата:

Как связаны планшайба и её корпус? Как они могут двигаться друг относительно друга? Как связаны корпус планшайбы и поворотный стол? Как они могут двигаться друг относительно друга? Может быть, про поворотный стол можно вообще не упоминать?

На самом деле, про поворотный стол я зря упомянул, это только сбивает, а сама планшайба должна вращаться вокруг оси C, в идеале, однако, планшайба может смещаться в направлении осей $X_{5},Y_{5},Z_{5}$, т.е смещение относительно центра, по всем направлениям. Выходное звено - планшайба вращается в подшипниках, расположенных в корпусе планшайбы. С помощью планшайбы реализуется поворот по
координате C. Ось вращения планшайбы номинально должна быть перпендикулярна оси вращения поворотного стола B, и пересекаться с ней.

Цитата:

Почему нельзя рассматривать прямоугольные декартовы координаты? В крайнем случае — цилиндрические.

В силу того, что оси могут быть на самом деле расположены быть таким образом, что система координат не ортогональна.

Цитата:

Что такое взаимный метрический тензор? (тут я догадываюсь, но лучше, если Вы уточните — для уверенности, что подразумеваем одно и то же)

Возможно, я неправильно выразился с точки зрения тензорной терминологии, я имел ввиду, что метрический тензор в цилиндрических координатах при переходе в декартовы он запишется в другой форме, сами компоненты будут описываться иначе, т.е сам он не изменится, но вот метрика в цилиндрических системах координат в метрике косоугольных декартовых координат будет иметь иную запись, при преобразовании координат.

Цитата:

Можете ли Вы выразить явно координаты $(x_5,y_5,z_5)$ через $(x_4,y_4,z_4)$ и обратно?

Для этого я применяю проективное преобразование, т.е когда координаты новой ск это линейное преобразование. Ну например: пусть компоненты вектора, определяющие положение салазок в зависимости от системы координат, обозначаются как $x^{(1)},y^{(1)},z^{(1)} и x^{(2)},y^{(2)},z^{(2)}$, т.е. компоненты принадлежат системам $O_{1} (X_{1},Y_{1},Z_{1})$ и $ O_2 (X_{2},Y_{2},Z_{2})$ соответственно. Пусть переменные $x^{(2)},y^{(2)},z^{(2)}$ в системе $X_{1},Y_{1},Z_{1}$ преобразуются по следующему закону:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^{(1)}&=& c_{11} x^{(2)}+ c_{12} y^{(2)}+c_{13} z^{(2)}\\ y^{(1)}&=& c_{21} x^{(2)}+ c_{22} y^{(2)}+c_{23} z^{(2)} \\ z^{(1)}&=& c_{31} x^{(2)}+ c_{32} y^{(2)}+c_{33} z^{(2)} \\ \end{array} \right.$$

[svv]

Спасибо, буду изучать.

[pogulyat_vyshel]

Я может чего-то не понимаю, но ведь в конечном счете речь идет просто об описании положения твердого тела в пространстве. Или пары твердых тел. Разве нет?

[Alm99]

pogulyat_vyshel
Суть в том, чтобы записать матрицу перехода (преобразования координат) при переходе от одного звена к другому в тензорной формализации, чтобы потом можно было, как я писал выше, строить эти тензоры, кривые в рабочем пространстве станка, а затем прибегать в методам вариационного исчисления, чтобы выяснить вопрос оптимальности и пересчитать координаты реальные и записать в ЧПУ, с учетом ошибки, объемной неточности, и ввести корректировки в управляющую программу станка.

[pogulyat_vyshel]

Alm99 в сообщении #1481749 писал(а):

ереходе от одного звена к другому в

что такое звено?

-- 02.09.2020, 21:15 --

а вы читали Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел

-- 02.09.2020, 21:19 --

Ю Ф Голубев Основы теор механики

это все про кинематику твердого тела и систем твердых тел

[Alm99]

pogulyat_vyshel

Цитата:

а вы читали Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел

нет, к сожалению не читал

я ознакомлюсь с данными источниками, я читал книги по аналитической механике, точности станков, дифференциальной геометрии и тензорном анализе, причем читал те книги, которые как называются "введение, для начинающих".

[Yuri Gendelman]

На сайте "Хабр"опубликована серия из 18 статей "Магия тензорной алгебры"
Серия ориентирована на приложения к механике твердого тела.

[Alm99]

Yuri Gendelman
Я читал эти статьи, материал очень хорошо преподнесен, но к сожалению, получить адекватный ответ, разрешить проблему, которую я описал, у меня пока не получилось...

[Alm99]

Уважаемые форумчане, а как вообще можно преобразовать метрический тензор в цилиндрических координатах к метрическому тензору в декартовых координатах? Maple есть такая возможность, но я аналитически не могу это сделать?

И еще вопрос, если метрику в цилиндрических координатах рассматривать как билинейную форму, то каков будет линейный оператор для преобразования в метрику в декартовых?

[svv]

Alm99
Что такое матрица обобщённых перемещений, я понял. С такой формой записи встречался и раньше, только не знал, что она так называется.

Записывать преобразование координат в виде $x'=Ax$ имеет смысл, если матрица $A$ постоянна (элементы не зависят от координат). Вы сказали, что в Вашем случае это не так, поэтому лучше просто ввести функции преобразования $x'^i(x^1,x^2,x^3)$.

Alm99 в сообщении #1481727 писал(а):

На самом же деле, оси как-то искривлены (поэтому рассматриваю метрический тензор в косоугольных декартовых координатах), и движение по ним происходит неравномерно в том смысле, что одинаковые приращения координат по ЧПУ приводят к разным перемещениям в зависимости от того, на каком участке оси это происходит.

Понятно. Кстати, такая неравномерность может приводить к тому, что координатные линии, соответствующее одной координате, непараллельны:

Alm99 в сообщении #1481727 писал(а):

сам метрический тензор не единичен, имеет внедиагональные компоненты, да ещё и нелинейно зависит от обобщённых координат. То есть имеем пространство переменной кривизны.

Понятно. Только вывод слишком радикальный. Вы можете использовать в нашем трёхмерном евклидовом пространстве криволинейные координаты. Но тот факт, что пространство имеет нулевую кривизну, не зависит от используемой системы координат.

Если в координатах $x^1,x^2,x^3$ компоненты метрического тензора равны $g_{ik}(x)$, а в координатах $x'^1,x'^2,x'^3$ они равны $g'_{\ell m}(x')$, то
$g'_{\ell m}=\dfrac{\partial x^i}{\partial x'^\ell}\dfrac{\partial x^k}{\partial x'^m}g_{ik}$

-- Сб сен 05, 2020 22:00:34 --

Alm99 в сообщении #1482130 писал(а):

как вообще можно преобразовать метрический тензор в цилиндрических координатах к метрическому тензору в декартовых координатах?

Вопрос не очень понятен. Было бы понятно, например: «Как, зная метрический тензор в декартовых координатах, найти его в цилиндрических координатах?»

В декартовых координатах $g_{xx}=g_{yy}=g_{zz}=1$, остальные компоненты нулевые.
В цилиндрических координатах матрица тензора также будет диагональной, потому что цилиндрические координаты — ортогональные.
Найдём для примера $g_{\varphi\varphi}$ по приведенной выше формуле:
$g_{\varphi\varphi}=\dfrac{\partial x^i}{\partial \varphi}\dfrac{\partial x^k}{\partial \varphi}g_{ik}=\left(\dfrac{\partial x}{\partial \varphi}\right)^2+\left(\dfrac{\partial y}{\partial \varphi}\right)^2=\rho^2 \sin^2\varphi+\rho^2 \cos^2\varphi=\rho^2$

[Alm99]

Цитата:

В декартовых координатах $g_{xx}=g_{yy}=g_{zz}=1$, остальные компоненты нулевые.

А если декартовы координаты косоугольные, то есть тензор будет записан как в самом первом сообщении в теме, то тогда и в цилиндрической ск он будет иметь другой компоненты...

С учетом того, что Вы написали, я получается тензор перехода получил не совсем верно... https://drive.google.com/file/d/1pPqL-_KYiSX-EIrCKNszGLewUa6b34zA/view?usp=sharing для плоской кинематической пары

Цитата:

Вопрос не очень понятен. Было бы понятно, например: «Как, зная метрический тензор в декартовых координатах, найти его в цилиндрических координатах?»

Я имел ввиду, что при преобразовании, переходе из цилиндрических координат к декартовым, тензор будет иметь другой вид, и как он запишется тогда? Аналогичным принципом, и по идее я получу единичную диагональную матрицу, получается? К тому же , что будет, если метрику в цилиндрических координатах рассматривать как билинейную форму, то каков будет линейный оператор для преобразования в метрику в декартовых?