Школьный вывод преобразований Лоренца

[Dedekind]

Добрый день, уважаемые форумчане!
Заранее, на всякий случай, оговорюсь, что я не альтернативщик и не собираюсь опровергать СТО

Предыстория
Всем наверняка знаком такой вывод замедления времени.
На станции на высоте $l$ фонарь, который светит строго вниз (рис. а). Мимо станции проезжает поезд со скоростью $v$. В системе отсчета поезда траектория светового луча будет иметь вид, представленный на рис. б.



Штрихованные величины относятся к ИСО поезда, нештрихованные - к станции
Тогда, работая в ИСО поезда, по теореме Пифагора имеем:

$$ (ct')^2 = (vt')^2 + h^2 $$

Выражая отсюда $t'$, получаем:

$$ t' = \dfrac{h}{c\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Затем, привлекая постулат о постоянстве скорости света, заключаем, что

$$ t = \dfrac{h}{c} $$

Тогда окончательно

$$ t' = \dfrac{t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Мой вопрос
Что если изначально мы предполагаем, что в ИСО станции луч был направлен под углом, скажем, $\theta$ (рис. а)?
Тогда, насколько я понимаю, в ИСО поезда траектория будет иметь вид как на рис. б.



При этом, исходя из рисунков, времена будут соответственно равняться

$$t = \dfrac{h}{c\cos\theta}$$

и

$$t' = \dfrac{h}{c}$$

И я не совсем понимаю, как в этой ситуации можно получить замедление времени Лоренца?

Заранее благодарен за любую помощь!

[Pphantom]

Dedekind в сообщении #1481497 писал(а):

Всем наверняка знаком такой вывод замедления времени.

Знаком, но лучше его не использовать. С формальной точки зрения он некорректен (вернее, его корректность никак не обосновывается), а фактически это приводит к ложному предположению, что на его базе можно сконструировать что-то более общее.

[Dedekind]

Pphantom в сообщении #1481500 писал(а):

Dedekind в сообщении #1481497 писал(а):

Всем наверняка знаком такой вывод замедления времени.

Знаком, но лучше его не использовать. С формальной точки зрения он некорректен (вернее, его корректность никак не обосновывается), а фактически это приводит к ложному предположению, что на его базе можно сконструировать что-то более общее.

То есть, это случайное совпадение, по сути? И в ситуации на моей второй картинке мы действительно можем прийти к другому выражению для Лоренц-фактора?

[Pphantom]

Dedekind в сообщении #1481502 писал(а):

И в ситуации на моей второй картинке мы действительно можем прийти к другому выражению для Лоренц-фактора?

Скорее уж то, что в каких-то случаях получающийся коэффициент совпадает с лоренц-фактором - факт, требующий объяснения. Это не случайность, но для ее обоснования нужен нормальный вывод.

[Dedekind]

Pphantom в сообщении #1481503 писал(а):

Dedekind в сообщении #1481502 писал(а):

И в ситуации на моей второй картинке мы действительно можем прийти к другому выражению для Лоренц-фактора?

Скорее уж то, что в каких-то случаях получающийся коэффициент совпадает с лоренц-фактором - факт, требующий объяснения. Это не случайность, но для ее обоснования нужен нормальный вывод.

Понятно, большое спасибо!

[sergey zhukov]

Dedekind
По моему, дело вот в чем. Нам по сути нужно найти угол, под которым движущийся наблюдатель видит объект, расположенный с точки зрения неподвижного наблюдателя под углом $90^\circ$:

В общем случае согласно формуле релятивистской аберрации света этот угол равен

$$\tg(\alpha)=\gamma^{-1}\frac{\sin(\beta)}{\frac{u}{c}+\cos(\beta)}$$

И только при $\beta=90^\circ$ эта формула упрощается до

$$\tg(\alpha)=\gamma^{-1}\frac{c}{u}$$

Этот результат соответствует треугольнику, который у вас нарисован в первом случае.
Поэтому в первом случае получается правильный результат именно потому, что $\beta=90^\circ$. Во втором случае нужно использовать формулу релятивистской аберрации света в полном виде, тогда тоже все получится.