2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Школьный вывод преобразований Лоренца
Сообщение01.09.2020, 00:03 


23/05/19
869
Добрый день, уважаемые форумчане!
Заранее, на всякий случай, оговорюсь, что я не альтернативщик и не собираюсь опровергать СТО :-)

Предыстория
Всем наверняка знаком такой вывод замедления времени.
На станции на высоте $l$ фонарь, который светит строго вниз (рис. а). Мимо станции проезжает поезд со скоростью $v$. В системе отсчета поезда траектория светового луча будет иметь вид, представленный на рис. б.

Изображение

Штрихованные величины относятся к ИСО поезда, нештрихованные - к станции
Тогда, работая в ИСО поезда, по теореме Пифагора имеем:
$$ (ct')^2 = (vt')^2 + h^2 $$
Выражая отсюда $t'$, получаем:
$$ t' = \dfrac{h}{c\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
Затем, привлекая постулат о постоянстве скорости света, заключаем, что
$$ t = \dfrac{h}{c} $$
Тогда окончательно
$$ t' = \dfrac{t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$

Мой вопрос
Что если изначально мы предполагаем, что в ИСО станции луч был направлен под углом, скажем, $\theta$ (рис. а)?
Тогда, насколько я понимаю, в ИСО поезда траектория будет иметь вид как на рис. б.

Изображение

При этом, исходя из рисунков, времена будут соответственно равняться
$$t = \dfrac{h}{c\cos\theta}$$
и
$$t' = \dfrac{h}{c}$$
И я не совсем понимаю, как в этой ситуации можно получить замедление времени Лоренца?

Заранее благодарен за любую помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный вывод преобразований Лоренца
Сообщение01.09.2020, 00:37 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Dedekind в сообщении #1481497 писал(а):
Всем наверняка знаком такой вывод замедления времени.
Знаком, но лучше его не использовать. С формальной точки зрения он некорректен (вернее, его корректность никак не обосновывается), а фактически это приводит к ложному предположению, что на его базе можно сконструировать что-то более общее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный вывод преобразований Лоренца
Сообщение01.09.2020, 00:51 


23/05/19
869
Pphantom в сообщении #1481500 писал(а):
Dedekind в сообщении #1481497 писал(а):
Всем наверняка знаком такой вывод замедления времени.
Знаком, но лучше его не использовать. С формальной точки зрения он некорректен (вернее, его корректность никак не обосновывается), а фактически это приводит к ложному предположению, что на его базе можно сконструировать что-то более общее.


То есть, это случайное совпадение, по сути? И в ситуации на моей второй картинке мы действительно можем прийти к другому выражению для Лоренц-фактора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный вывод преобразований Лоренца
Сообщение01.09.2020, 00:57 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Dedekind в сообщении #1481502 писал(а):
И в ситуации на моей второй картинке мы действительно можем прийти к другому выражению для Лоренц-фактора?
Скорее уж то, что в каких-то случаях получающийся коэффициент совпадает с лоренц-фактором - факт, требующий объяснения. Это не случайность, но для ее обоснования нужен нормальный вывод.

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный вывод преобразований Лоренца
Сообщение01.09.2020, 01:03 


23/05/19
869
Pphantom в сообщении #1481503 писал(а):
Dedekind в сообщении #1481502 писал(а):
И в ситуации на моей второй картинке мы действительно можем прийти к другому выражению для Лоренц-фактора?
Скорее уж то, что в каких-то случаях получающийся коэффициент совпадает с лоренц-фактором - факт, требующий объяснения. Это не случайность, но для ее обоснования нужен нормальный вывод.


Понятно, большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Школьный вывод преобразований Лоренца
Сообщение18.09.2020, 20:02 


17/10/16
3893
Dedekind
По моему, дело вот в чем. Нам по сути нужно найти угол, под которым движущийся наблюдатель видит объект, расположенный с точки зрения неподвижного наблюдателя под углом $90^\circ$:
Изображение
В общем случае согласно формуле релятивистской аберрации света этот угол равен $$\tg(\alpha)=\gamma^{-1}\frac{\sin(\beta)}{\frac{u}{c}+\cos(\beta)}$$
И только при $\beta=90^\circ$ эта формула упрощается до $$\tg(\alpha)=\gamma^{-1}\frac{c}{u}$$
Этот результат соответствует треугольнику, который у вас нарисован в первом случае.
Поэтому в первом случае получается правильный результат именно потому, что $\beta=90^\circ$. Во втором случае нужно использовать формулу релятивистской аберрации света в полном виде, тогда тоже все получится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group