Еще раз о распределении заряда на проводящей нити

[reterty]

Этот вопрос обсуждался на форуме неоднократно (см., например, topic93908.html). В этом топике четко указывается, что данная проблема не может быть решена путем предельного перехода в формуле для поверхностной плотности проводящего эллипсоида (ЛЛ- т.8 , формула (4.16))-получается постоянная линейная плотность. Однако, на той же странице приводится формула (4.17) для потенциала вытянутого эллипсоида вращения. А что если в ней устремить две полуоси эллипсоида к нулю и получить выражение для потенциала поля проводящей бесконечно тонкой нити конечной длины? Тогда далее находим радиальную составляющую напряженности поля такой нити, далее находим асимптотическое выражение при малых расстояниях до нити и используя теорему Гаусса для поверхности в виде цилиндра вычленяем линейную плотность заряда $\tau(x)$? Вроде бы по моим расчетам от такого предельного перехода этот потенциал не будет описываться потенциалом поля равномерно заряженной нити...но я могу и ошибаться..

[reterty]

Пусть длина нити равна $2a$. Введем двумерную декартову систему координат так, чтобы ось $y$ совпадала с нитью а ось $x$ была ей перпендикулярна. Начало этой системы координат совпадает с центром нити. Воспользуемся формулами (4.17) и (4.7) из ЛЛ т.8 и положим в них $b=c=0$. Тогда потенциал поля такой проводящей нити (в СИ) будет равен:
$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}\text{arctanh} \sqrt{\frac{2}{x^2+y^2+1+\sqrt{(x^2+y^2-1)^2+4x^2}}}$ .
Здесь $x$ и $y$- безразмерные координаты точки, выраженные в долях $a$. Далее, находим радиальную составляющую напряженности электрического поля нити:
$E_x=-\frac{\partial \varphi}{\partial r}=-\frac{1}{a}\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\frac{x\sqrt{2(x^2+y^2+1+\sqrt{(x^2+(y+1)^2)(x^2+(y-1)^2)})}}{(x^2+y^2-1+\sqrt{(x^2+(y+1)^2)(x^2+(y-1)^2)})\sqrt{(x^2+(y+1)^2)(x^2+(y-1)^2)}}$.
Будем рассматривать точки с $0<y^2<1$ и найдем асимптотику полученного выражения при малых $x$:
$E_x\approx \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\frac{2x}{x^2(1-y^2)}=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 a}\frac{1}{(1-y^2)r}$.
C другой стороны, используя теорему Гаусса, получим:
$E_x=\frac{\tau(y)}{2\pi\varepsilon_0 r}$.
Тогда, окончательно, имеем:
$\tau(y)=\frac{q}{a(1-y^2)}$.
Прошу, по возможности, проверить выкладки

[reterty]

Уппс, в знаменателе вместо $1-y^2$ должна быть 2. Распределение равномерное. Вопрос снимается.

[drug39]

Нить - это обычно нечто искривлённое, с приспособлениями зажима и подвеса. Лучше сказать прямая тонкая палочка. В предельном случае получается отрезок. Пишите правильно. Правильно эта задача называется об уединённом проводящем отрезке.