2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Еще раз о распределении заряда на проводящей нити
Сообщение20.08.2020, 16:22 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Этот вопрос обсуждался на форуме неоднократно (см., например, topic93908.html). В этом топике четко указывается, что данная проблема не может быть решена путем предельного перехода в формуле для поверхностной плотности проводящего эллипсоида (ЛЛ- т.8 , формула (4.16))-получается постоянная линейная плотность. Однако, на той же странице приводится формула (4.17) для потенциала вытянутого эллипсоида вращения. А что если в ней устремить две полуоси эллипсоида к нулю и получить выражение для потенциала поля проводящей бесконечно тонкой нити конечной длины? Тогда далее находим радиальную составляющую напряженности поля такой нити, далее находим асимптотическое выражение при малых расстояниях до нити и используя теорему Гаусса для поверхности в виде цилиндра вычленяем линейную плотность заряда $\tau(x)$? Вроде бы по моим расчетам от такого предельного перехода этот потенциал не будет описываться потенциалом поля равномерно заряженной нити...но я могу и ошибаться..

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о распределении заряда на проводящей нити
Сообщение21.08.2020, 21:14 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Пусть длина нити равна $2a$. Введем двумерную декартову систему координат так, чтобы ось $y$ совпадала с нитью а ось $x$ была ей перпендикулярна. Начало этой системы координат совпадает с центром нити. Воспользуемся формулами (4.17) и (4.7) из ЛЛ т.8 и положим в них $b=c=0$. Тогда потенциал поля такой проводящей нити (в СИ) будет равен:
$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}\text{arctanh} \sqrt{\frac{2}{x^2+y^2+1+\sqrt{(x^2+y^2-1)^2+4x^2}}}$ .
Здесь $x$ и $y$- безразмерные координаты точки, выраженные в долях $a$. Далее, находим радиальную составляющую напряженности электрического поля нити:
$E_x=-\frac{\partial \varphi}{\partial r}=-\frac{1}{a}\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\frac{x\sqrt{2(x^2+y^2+1+\sqrt{(x^2+(y+1)^2)(x^2+(y-1)^2)})}}{(x^2+y^2-1+\sqrt{(x^2+(y+1)^2)(x^2+(y-1)^2)})\sqrt{(x^2+(y+1)^2)(x^2+(y-1)^2)}}$.
Будем рассматривать точки с $0<y^2<1$ и найдем асимптотику полученного выражения при малых $x$:
$E_x\approx \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}\frac{2x}{x^2(1-y^2)}=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0 a}\frac{1}{(1-y^2)r}$.
C другой стороны, используя теорему Гаусса, получим:
$E_x=\frac{\tau(y)}{2\pi\varepsilon_0 r}$.
Тогда, окончательно, имеем:
$\tau(y)=\frac{q}{a(1-y^2)}$.
Прошу, по возможности, проверить выкладки

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о распределении заряда на проводящей нити
Сообщение21.08.2020, 23:06 
Аватара пользователя


08/10/09
835
Херсон
Уппс, в знаменателе вместо $1-y^2$ должна быть 2. Распределение равномерное. Вопрос снимается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о распределении заряда на проводящей нити
Сообщение31.08.2020, 07:02 
Аватара пользователя


08/12/08
400
Нить - это обычно нечто искривлённое, с приспособлениями зажима и подвеса. Лучше сказать прямая тонкая палочка. В предельном случае получается отрезок. Пишите правильно. Правильно эта задача называется об уединённом проводящем отрезке.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group