2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 ЭМ маятник с затуханием
Сообщение19.08.2020, 20:43 


21/07/20
225
Проволочный контур может перемещаться без трения поступательно вдоль оси Х в постоянном магнитном поле, при этом магнитный поток этого поля через контур меняется линейно: $\ d\Phi / dx=\operatorname{const}$ . Масса контура $\ m$ , его сопротивление $\ R$ , индуктивность $\ L$. В начальный момент времени ток в контуре равен нулю и контур покоился. Затем контуру сообщили начальную скорость $\upsilon_0$ . На какое расстояние сместится контур за время движения до полной остановки?

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение19.08.2020, 23:26 


20/04/10
1776
Закон Ньютона $m \dot{v}_x(t)=I(t)\partial_x\Phi$ и закон Кирхгофа $ v_x(t)\partial_x\Phi+L\dot{I}(t)+I(t)R=0$ приводят к уравнению затухающих колебаний
\begin{gather}\nonumber
\ddot{v}_x(t)+\frac{R}{L}\dot{v}_x(t)+\frac{(\partial_x\Phi)^2}{mL}v_x(t)=0.
\end{gather}
Начальные данные $v_x(0)=v_0, \dot{v}_x(0)=0$
Поскольку по условию $\partial_x\Phi=\operatorname{const}$, решение ищется легко. Далее интегрируем $v_x(t)$ в пределах от нуля до бесконечности и получаем ответ
$$\ell=\frac{m v_0 R}{(\partial_x\Phi)^2}.$$
Забавно что в ответ не вошла индуктивность.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение20.08.2020, 06:54 


21/07/20
225
lel0lel в сообщении #1479924 писал(а):
Забавно что в ответ не вошла индуктивность.

Тоже обратил на это внимание, получив такой же ответ, но для интриги задал значение индуктивности в условии.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение20.08.2020, 07:54 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Интересно, что дифференциальное уравнение для $v_x$ составлять и решать не обязательно.
Можно сразу проинтегрировать от нуля до бесконечности исходные уравнения движения и Кирхгофа.
И, кстати, видно, что индуктивность не вошла в ответ из-за условия нулевого начального тока

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение20.08.2020, 08:23 


21/07/20
225
AnatolyBa в сообщении #1479939 писал(а):
Интересно, что дифференциальное уравнение для $v_x$ составлять и решать не обязательно.
Можно сразу проинтегрировать от нуля до бесконечности исходные уравнения движения и Кирхгофа.
И, кстати, видно, что индуктивность не вошла в ответ из-за условия нулевого начального тока

AnatolyBa, спасибо! Я такое простое решение и не заметил.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение20.08.2020, 11:36 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Умножим обе части 2-го уравнения на $I$; с учётом 1-го уравнения получаем$$mv\dot{v}+LI\dot{I}+RI^2=0,$$ или$$\frac{dW}{dt}+RI^2=0,\quad W=m\frac{v^2}2+L\frac{I^2}2$$То есть, вроде бы получаем, что вне зависимости от конкретного вида функции $\Phi(x)$ можно продолжать пользоваться величиной $W$ в качестве меры полной энергии, как это было и в отсутствие внешнего магнитного поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение20.08.2020, 12:31 


21/07/20
225
dovlato в сообщении #1479958 писал(а):
То есть, вроде бы получаем, что вне зависимости от конкретного вида функции $\Phi(x)$ можно продолжать пользоваться величиной $W$ в качестве меры полной энергии, как это было и в отсутствие внешнего магнитного поля.

Уважаемый dovlato , именно об этом я писал при обсуждении вашей задачи post1479541.html#p1479541

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение20.08.2020, 18:19 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Прошу прощения, я не сразу вник в текст Ignatovich.
Полученное собственными руками легче воспринимать.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение20.08.2020, 22:05 


20/04/10
1776
Предлагаю немного изменить условие задачи, она от этого станет содержательней. Пусть, как и ранее, в начальный момент контур покоится во внешнем поле и тока в нём нет. В интервале времени от $0$ до $\tau<\infty$ на контур действует сила $F_x(t)$. Найти перемещение контура $\Delta x(t\to\infty)$. Считать что излучения нет и $R>0$.

При решении этой модификации задачи будет очень полезно замечание AnatolyBa, что интегрировать можно сами уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение21.08.2020, 07:20 


21/07/20
225
lel0lel в сообщении #1480043 писал(а):
При решении этой модификации задачи будет очень полезно замечание AnatolyBa, что интегрировать можно сами уравнения.

Красивое развитие задачи. Ответ, как и в исходной задаче, но вместо начального импульса $m \upsilon_0$ стоит импульс силы $$\int\limits_{0}^{\tau}F_x dt$$

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение22.08.2020, 00:09 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
В задачах Ignatovich и lel0lel получается решаемое ДУ при $\Phi(x)$, удовлетворяющих ДУ $$\Phi_{xx}-\Phi_x^2=a,\quad a=\operatorname{const}$$ Его решение $\Phi=\ln|C_1-C_2x|+ax$

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение22.08.2020, 13:50 


20/04/10
1776
Получается диффур
\begin{gather}\nonumber
\ddot{v}_x+\left(\frac{R}{L}-\frac{\partial_{x,x}\Phi}{\partial_x \Phi}v_{x}\right)\dot{v}_x+\frac{(\partial_x\Phi)^2}{m L}v_x=0
\end{gather}.
Для координаты в общем случае получим нелинейное уравнение третьего порядка. Разве условие
dovlato в сообщении #1480244 писал(а):
$$\Phi_{xx}-\Phi_x^2=a,\quad a=\operatorname{const}$$

позволяет его решить?

dovlato в сообщении #1480244 писал(а):
Его решение $\Phi=\ln|C_1-C_2x|+ax$

Это тоже по-моему требует проверки.

 Профиль  
                  
 
 Re: ЭМ маятник с затуханием
Сообщение22.08.2020, 17:26 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Прошу прощения, ошибся. Хотелось посмотреть - когда вообще уравнение решается без спецфункций. Ведь требование на поле наложено довольно сильное. Ещё посижу, подумаю; если что-то интересное будет, напишу.
Да, действительно получается с той левой частью, а справа $\frac1{L}\left(R\frac{f-m\dot{v}}{\Phi_x}-v\Phi_x\right).$
Если силa $f$ потенциальная и зависит только от координаты $x$, то есть $f(x)=-dU/dx$, то получим уравнение энергетического баланса $$\frac{d}{dt}\left(mv^2/2+LI^2/2+U\right)+RI^2=0,$$ в которое произвольное стационарное внешнее магнитное поле не входит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group