ЭМ маятник с затуханием

[Ignatovich]

Проволочный контур может перемещаться без трения поступательно вдоль оси Х в постоянном магнитном поле, при этом магнитный поток этого поля через контур меняется линейно: $\ d\Phi / dx=\operatorname{const}$ . Масса контура $\ m$ , его сопротивление $\ R$ , индуктивность $\ L$. В начальный момент времени ток в контуре равен нулю и контур покоился. Затем контуру сообщили начальную скорость $\upsilon_0$ . На какое расстояние сместится контур за время движения до полной остановки?

[lel0lel]

Закон Ньютона $m \dot{v}_x(t)=I(t)\partial_x\Phi$ и закон Кирхгофа $ v_x(t)\partial_x\Phi+L\dot{I}(t)+I(t)R=0$ приводят к уравнению затухающих колебаний
\begin{gather}\nonumber \ddot{v}_x(t)+\frac{R}{L}\dot{v}_x(t)+\frac{(\partial_x\Phi)^2}{mL}v_x(t)=0. \end{gather}
Начальные данные $v_x(0)=v_0, \dot{v}_x(0)=0$
Поскольку по условию $\partial_x\Phi=\operatorname{const}$, решение ищется легко. Далее интегрируем $v_x(t)$ в пределах от нуля до бесконечности и получаем ответ

$$\ell=\frac{m v_0 R}{(\partial_x\Phi)^2}.$$

Забавно что в ответ не вошла индуктивность.

[Ignatovich]

lel0lel в сообщении #1479924 писал(а):

Забавно что в ответ не вошла индуктивность.

Тоже обратил на это внимание, получив такой же ответ, но для интриги задал значение индуктивности в условии.

[AnatolyBa]

Интересно, что дифференциальное уравнение для $v_x$ составлять и решать не обязательно.
Можно сразу проинтегрировать от нуля до бесконечности исходные уравнения движения и Кирхгофа.
И, кстати, видно, что индуктивность не вошла в ответ из-за условия нулевого начального тока

[Ignatovich]

AnatolyBa в сообщении #1479939 писал(а):

Интересно, что дифференциальное уравнение для $v_x$ составлять и решать не обязательно.
Можно сразу проинтегрировать от нуля до бесконечности исходные уравнения движения и Кирхгофа.
И, кстати, видно, что индуктивность не вошла в ответ из-за условия нулевого начального тока

AnatolyBa, спасибо! Я такое простое решение и не заметил.

[dovlato]

Умножим обе части 2-го уравнения на $I$; с учётом 1-го уравнения получаем

$$mv\dot{v}+LI\dot{I}+RI^2=0,$$

или

$$\frac{dW}{dt}+RI^2=0,\quad W=m\frac{v^2}2+L\frac{I^2}2$$

То есть, вроде бы получаем, что вне зависимости от конкретного вида функции $\Phi(x)$ можно продолжать пользоваться величиной $W$ в качестве меры полной энергии, как это было и в отсутствие внешнего магнитного поля.

[Ignatovich]

dovlato в сообщении #1479958 писал(а):

То есть, вроде бы получаем, что вне зависимости от конкретного вида функции $\Phi(x)$ можно продолжать пользоваться величиной $W$ в качестве меры полной энергии, как это было и в отсутствие внешнего магнитного поля.

Уважаемый dovlato , именно об этом я писал при обсуждении вашей задачи post1479541.html#p1479541

[dovlato]

Прошу прощения, я не сразу вник в текст Ignatovich.
Полученное собственными руками легче воспринимать.

[lel0lel]

Предлагаю немного изменить условие задачи, она от этого станет содержательней. Пусть, как и ранее, в начальный момент контур покоится во внешнем поле и тока в нём нет. В интервале времени от $0$ до $\tau<\infty$ на контур действует сила $F_x(t)$. Найти перемещение контура $\Delta x(t\to\infty)$. Считать что излучения нет и $R>0$.

При решении этой модификации задачи будет очень полезно замечание AnatolyBa, что интегрировать можно сами уравнения.

[Ignatovich]

lel0lel в сообщении #1480043 писал(а):

При решении этой модификации задачи будет очень полезно замечание AnatolyBa, что интегрировать можно сами уравнения.

Красивое развитие задачи. Ответ, как и в исходной задаче, но вместо начального импульса $m \upsilon_0$ стоит импульс силы

$$\int\limits_{0}^{\tau}F_x dt$$

[dovlato]

В задачах Ignatovich и lel0lel получается решаемое ДУ при $\Phi(x)$, удовлетворяющих ДУ

$$\Phi_{xx}-\Phi_x^2=a,\quad a=\operatorname{const}$$

Его решение $\Phi=\ln|C_1-C_2x|+ax$

[lel0lel]

Получается диффур
\begin{gather}\nonumber \ddot{v}_x+\left(\frac{R}{L}-\frac{\partial_{x,x}\Phi}{\partial_x \Phi}v_{x}\right)\dot{v}_x+\frac{(\partial_x\Phi)^2}{m L}v_x=0 \end{gather}.
Для координаты в общем случае получим нелинейное уравнение третьего порядка. Разве условие

dovlato в сообщении #1480244 писал(а):

$$\Phi_{xx}-\Phi_x^2=a,\quad a=\operatorname{const}$$

позволяет его решить?

dovlato в сообщении #1480244 писал(а):

Его решение $\Phi=\ln|C_1-C_2x|+ax$

Это тоже по-моему требует проверки.

[dovlato]

Прошу прощения, ошибся. Хотелось посмотреть - когда вообще уравнение решается без спецфункций. Ведь требование на поле наложено довольно сильное. Ещё посижу, подумаю; если что-то интересное будет, напишу.
Да, действительно получается с той левой частью, а справа $\frac1{L}\left(R\frac{f-m\dot{v}}{\Phi_x}-v\Phi_x\right).$
Если силa $f$ потенциальная и зависит только от координаты $x$, то есть $f(x)=-dU/dx$, то получим уравнение энергетического баланса

$$\frac{d}{dt}\left(mv^2/2+LI^2/2+U\right)+RI^2=0,$$

в которое произвольное стационарное внешнее магнитное поле не входит.