Различные принципы непрерывности

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479734 писал(а):

Давайте подскажу: исходное покрытие не обязано быть счетным. Сможете покрыть отрезок $[1, x]$ интервалами длины $1$ (конечным числом точно не получится, а вот бесконечным?..).

Каждую точку отрезка окружить окрестностью радиуса $1$?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1480063 писал(а):

Каждую точку отрезка окружить окрестностью радиуса $1$?

Да. Это точно будет покрытием (каждая точка покрыта как минимум взятой для неё окрестностью). Почему из него нельзя выделить конечное?

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1480086 писал(а):

VoprosT в сообщении #1480063 писал(а):

Каждую точку отрезка окружить окрестностью радиуса $1$?

Да. Это точно будет покрытием (каждая точка покрыта как минимум взятой для неё окрестностью). Почему из него нельзя выделить конечное?

Потому что $\mathbb{N}$ бесконечно

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1480089 писал(а):

Потому что $\mathbb{N}$ бесконечно

Ну так интервал $(0, 1)$ тоже бесконечен, но его можно покрыть конечным числом окрестностей радиуса $1$.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1480090 писал(а):

VoprosT в сообщении #1480089 писал(а):

Потому что $\mathbb{N}$ бесконечно

Ну так интервал $(0, 1)$ тоже бесконечен, но его можно покрыть конечным числом окрестностей радиуса $1$.

Хм. Потому что в каждой такой окрестности содержится конечное число точек из $\mathbb{N}$, и, если бы можно было выделить конечное покрытие, то $\mathbb{N}$ оказалось бы конечным(?)

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1480094 писал(а):

Потому что в каждой такой окрестности содержится конечное число точек из $\mathbb{N}$, и, если бы можно было выделить конечное покрытие, то $\mathbb{N}$ оказалось бы конечным

Да, так лучше. Или так: центр каждой окрестности либо меньше какого-то натурального числа, либо больше всех натуральных чисел. Возьмем самую правую окрестность, центр которой меньше какого-то натурального числа. Пусть это число $m$. Тогда $m + 2$ не покрыто.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1480098 писал(а):

VoprosT в сообщении #1480094 писал(а):

Потому что в каждой такой окрестности содержится конечное число точек из $\mathbb{N}$, и, если бы можно было выделить конечное покрытие, то $\mathbb{N}$ оказалось бы конечным

Да, так лучше. Или так: центр каждой окрестности либо меньше какого-то натурального числа, либо больше всех натуральных чисел. Возьмем самую правую окрестность, центр которой меньше какого-то натурального числа. Пусть это число $m$. Тогда $m + 2$ не покрыто.

Спасибо!
А можете, пожалуйста, подсказать(моих усилий, похоже, не хватает), как вывести из леммы о предельной точке аксиому полноты и из леммы о конечном покрытии аксиому полноты?Правильно ли я понимаю, что там надо строить отрезки по тому же принципу, как выводили полноту из леммы о вложенных отрезках?

[mihaild]

Давайте по очереди вопросы:)

VoprosT в сообщении #1480112 писал(а):

как вывести из леммы о предельной точке аксиому полноты

Тут наверное полезна аналогия со вложенными отрезками, но доказать можно и полностью независимо.
Для начала - формулировки такие? Аксиома полноты - у любого непустого ограниченного сверху множества есть точная верхняя грань; лемма о предельной точке - у бесконечного ограниченного множества есть предельная точка.
Пусть у нас есть ограниченное сверху множество. Возьмем точку, не превосходящую какой-то точки из него, и точку, большую всего множества. Если одна из них является точной верхней гранью - то всё хорошо. Иначе возьмем эти точки в наше множество, и посмотрим на середину.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1480144 писал(а):

Давайте по очереди вопросы:)

VoprosT в сообщении #1480112 писал(а):

как вывести из леммы о предельной точке аксиому полноты

Тут наверное полезна аналогия со вложенными отрезками, но доказать можно и полностью независимо.
Для начала - формулировки такие?

Нет, в упражнении под аксиомой полноты подразумевается следующее: $A,B$ - непустые подмножества $\mathbb{R} \colon (\forall{a \in A}) \wedge (\forall{b \in B})$ верно, что $a \leqslant b$. Тогда существует $c \in \mathbb{R} \colon a \leqslant c \leqslant b \; (\forall{a \in A}) \wedge (\forall{b \in B})$. Но это не сильно меняет рассуждения, я так понимаю

mihaild в сообщении #1480144 писал(а):

Пусть у нас есть ограниченное сверху множество. Возьмем точку, не превосходящую какой-то точки из него, и точку, большую всего множества. Если одна из них является точной верхней гранью - то всё хорошо. Иначе возьмем эти точки в наше множество, и посмотрим на середину.

"наше множество" - это будущая последовательность(ой, на этом этапе ещё нет в учебнике последовательностей, имею в виду просто бесконечное ограниченное множество), которая должна к чему-то сойтись?

Продолжу ваши рассуждения: продолжаем построение, получаем бесконечное ограниченное множество(которое фактически представляет собой две последовательности, слева и справа сходящиеся к нужной нам точке), по лемме у него есть предельная точка, назовём её $c$. Покажем, что $c \in \mathbb{R} \colon a \leqslant c \leqslant b \; (\forall{a \in A}) \wedge (\forall{b \in B})$. Пускай нашлось $a_m \colon c < a_m$, все $a_n$ при $n > m$ лежат правее $a_m$, тогда, например, в окрестности радиуса $c - a$ лежит конечное число точек множества - противоречие с определением. Аналогично рассматривается случай $b < c$, после этого делается нужный нам вывод о том, что $c$ разделяет множества $A,B$. Верно?

P.s. Всё-таки это такие же(или просто очень похожие,хотя,раз уж леммы об одном и том же, то не стоит удивляться аналогичности) рассуждения, как с отрезками, тоже приходится делить пополам и смотреть, разделила ли наша точка наши множества.

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1480153 писал(а):

Нет, в упражнении под аксиомой полноты подразумевается следующее

Несложно доказать, что это одно и то же: в одну сторону - возьмем в качестве $c$ верхнюю грань $A$, в другую - возьмем в качестве $B$ множество всех чисел, больших любого числа из $A$.

VoprosT в сообщении #1480153 писал(а):

Верно?

Да, так.

VoprosT в сообщении #1480153 писал(а):

тоже приходится делить пополам и смотреть, разделила ли наша точка наши множества

Ну да. Можно вообще отдельно доказать эквивалентность леммы о вложенных отрезках и о существовании предельной точки (они обе по сути про то, что замкнутое ограниченное множество компактно).

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1480159 писал(а):

VoprosT в сообщении #1480153 писал(а):

Нет, в упражнении под аксиомой полноты подразумевается следующее

Несложно доказать, что это одно и то же: в одну сторону - возьмем в качестве $c$ верхнюю грань $A$, в другую - возьмем в качестве $B$ множество всех чисел, больших любого числа из $A$.

Да, спасибо, это я как раз умею, Зорич это даже в тексте показал задолго до этих упражнений

mihaild в сообщении #1480159 писал(а):

Да, так.

Ура, спасибо

mihaild в сообщении #1480159 писал(а):

Ну да. Можно вообще отдельно доказать эквивалентность леммы о вложенных отрезках и о существовании предельной точки (они обе по сути про то, что замкнутое ограниченное множество компактно).

На всякий случай спрошу: тогда вместе с отрезками надо постулировать принцип Архимеда, чтобы не вышло так, что $(c <a) \vee (c > b)$(так, как это было с док-вом эквивалентности аксиоме полноты),да?

Теперь надо разобраться с конечным покрытием. Полагаю, также стоит смотреть на вложенные отрезки и, в предположении, что аксиома полноты не выполнена, придумать правильное бесконечное покрытие и попытаться выбрать конечное подпокрытие?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1480163 писал(а):

вместе с отрезками надо постулировать принцип Архимеда

Да.
Вообще, есть два понятия полноты: полнота по Коши (любая фундаментальная последовательность сходится) - применимо к любому метрическому пространству, и полнота по Дедекинду (у любого ограниченного сверху множества есть точная верхняя грань). Полнота по Дедекинду влечет принцип Архимеда, по Коши - нет.

VoprosT в сообщении #1480163 писал(а):

чтобы не вышло так, что $(c <a) \vee (c > b)$

Так в любом случае не получится - у отрезка есть середина, и она либо лежит в одном из наших множеств, либо разделяет их. Без аксиомы Архимеда может оказаться, что при нашем построении $c$ не отделяет $A$ от $B$. Например если есть какой-то элемент $\omega$, больший всех натуральных чисел, и мы изначально возьмем в качестве правого конца $\omega^2$, то наше построение будет выдавать отрезки $[0; \omega^2]$, $[0, \frac{\omega^2}{2}]$, $[0, \frac{\omega^2}{4}]$ и т.д. - они пересекаются, например, по $\omega$, но $\omega$ не является верхней гранью $\mathbb{N}$ (потому что $\omega - 1$ меньше, но тоже является верхней границей; и вообще, ни в каком расширении $\mathbb R$ у множества натуральных чисел не может быть точной верхней грани).

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1480172 писал(а):

VoprosT в сообщении #1480163 писал(а):

чтобы не вышло так, что $(c <a) \vee (c > b)$

Так в любом случае не получится - у отрезка есть середина, и она либо лежит в одном из наших множеств, либо разделяет их.

А разве здесь он не нужен?
Вернёмся к док-ву эквивалентности принципу вложенных отрезков аксиоме полноты. Возьмём $a \in A , b \in$, возьмём их середину,пускай она не разделяет множества, далее так и строим такие вложенные отрезки(я писал это доказательство раннее), что они содержат точки обоих множеств, у них есть общая. Возьмём любой $a' \in A$ и предположим, что $c > a'$, но тогда $a_n \leqslant c < a \leqslant b_n$, а длина отрезка $[a_n,b_n]$ равна $\frac{b-a}{2^{n-1}}$, они стягивающиеся, благодаря принципу Архимеда, противоречие.

[mihaild]

Да, выше я глупость сказал. Пересечение всех отрезков легко может включать точки из обоих множеств. Без принципа Архимеда доказать, что точка из пересечения отрезков разделяет множества, не получится.
А вот если у множества взятых середин есть предельная точка - то она уже будет разделяющей (раз есть предельная точка, то можно смотреть только что происходит в её окрестности радиуса $1$).

[VoprosT]

VoprosT в сообщении #1480163 писал(а):

Теперь надо разобраться с конечным покрытием. Полагаю, также стоит смотреть на вложенные отрезки и, в предположении, что аксиома полноты не выполнена, придумать правильное бесконечное покрытие и попытаться выбрать конечное подпокрытие?

mihaild, нужна ваша помощь, подскажите, пожалуйста, как из леммы о конечном покрытии вывести аксиому полноты.