Интеграл от нескольких лоренцианов (дельта-функций)

[Lia]

Physman
Выключенные - это и есть с двойным долларом по краям, как Вам рассказали.

[Red_Herring]

Physman в сообщении #1479753 писал(а):

Почему в данном случае этот случай не надо рассматривать?

Потому что он автоматически рассматривается предельным переходом при $\alpha_1\to\alpha_2$, и то, что в результате перехода из того, что вы "посчитали" получаетсяа $\infty$, свидетельствует об ошибке. А то, что вы не заметили этого, говорит о недостаточном понимании

[Physman]

Red_Herring в сообщении #1479790 писал(а):

А то, что вы не заметили этого, говорит о недостаточном понимании

Так я вроде и не претендую. Поэтому и спрашиваю, что не понимаю. Спасибо вам за объяснения и потраченное время.

Red_Herring, подскажите, а полученный ответ в моём предыдущем сообщении (где пи пополам получилось и $n=2$) в итоге верный, или я опять что-то не так сделал?

-- 18.08.2020, 16:22 --

Я больше про принципиальные проблемы спрашиваю. Моя задача сложнее, чем разобранная здесь, на практике там тройной интеграл и шесть лоренцианов. Надеюсь, всё будет достаточно по-аналогии, как разобранный здесь случай.

[Red_Herring]

Physman в сообщении #1479796 писал(а):

больше про принципиальные проблемы спрашиваю.

Так это и была принципиальная проблема. То, что $\varepsilon^2$ тоже принципиально. А вотконкретный численный коэффициент--нет.

[Physman]

Согласен!

Ну что, полная задача выглядит так: посчитать

$$ \int_0^\infty dpp^3\int_0^\infty p'dp'\int d\varepsilon \frac{i/\tau}{[(\varepsilon-\varepsilon_v')^2+\frac{1}{(2\tau)^2}]^2}\left\{ \frac{2(\varepsilon-\varepsilon_v')(\varepsilon+\omega-\varepsilon_c')-2/(2\tau)^2} { (\varepsilon+\omega-\varepsilon_c')^2+\frac{1}{(2\tau)^2} } \right\}\times $$

$$ \times\frac{(2i)(2\varepsilon-\varepsilon_c-\varepsilon_c'+\frac{i}{\tau})}{(\varepsilon-\varepsilon_c')^2+\frac{1}{(2\tau)^2}} \frac{\varepsilon-\varepsilon_c-\frac{i}{2\tau}}{[(\varepsilon-\varepsilon_c)^2+\frac{1}{(2\tau)^2}]^2}, $$

где $\varepsilon_c=-\varepsilon_v=\frac{\Delta}{2}+\frac{p^2}{\Delta}$.

Попробую теперь найти значение и этого выражения по аналогии.

[Physman]

Я немного изменил интеграл,

$$ \int_0^\infty dpp^3\int_0^\infty p'dp'\int\limits_{-\infty}^{\infty} d\varepsilon \frac{(-2/\tau)(2\varepsilon-\varepsilon_c-\varepsilon_c'-\frac{i}{\tau})}{(\varepsilon-\varepsilon_c')^2+\frac{1}{(2\tau)^2}} \frac{1}{(\varepsilon-\varepsilon_c)^2+\frac{1}{(2\tau)^2}} \frac{1}{\varepsilon-\varepsilon_v'+\frac{i}{2\tau}} \frac{1}{\varepsilon+\omega-\varepsilon_c'+\frac{i}{2\tau}}\times $$

$$ \times \frac{1}{(\varepsilon-\varepsilon_v')^2+\frac{1}{(2\tau)^2}} \frac{1}{\varepsilon-\varepsilon_c-\frac{i}{2\tau}}. $$

(Напоминаю, задача - посчитать это, используя в каком-то месте предел $\tau\rightarrow\infty$. При этом можно на любую степень тау домножить всё выражение).

Возможно, некоторые полюса можно игнорировать. Для меня наиболее важным является знаменатель, имеющий внутри $\omega$, он должен быть резонансным. Для этого там вместо $\varepsilon$ должно появиться $\varepsilon_v'$.

Игнорируя другие полюса кроме $\varepsilon=\varepsilon_v'+i/2\tau$ и т.о. интегрируя по верхней полуплоскости, я получил:

$$ \frac{i \tau \left(\Delta -2 \varepsilon_c\right) \left(\varepsilon_c+3 \left(\frac{\Delta }{2}+\frac{p^2}{\Delta }\right)\right)}{2 \left(\frac{\Delta }{2}+\frac{p^2}{\Delta }\right) \left(2 \left(\frac{\Delta }{2}+\frac{p^2}{\Delta }\right)-\frac{i}{\tau }\right) \left(\varepsilon _c+\frac{\Delta }{2}+\frac{p^2}{\Delta }\right){}^2 \left(2 \left(\frac{\Delta }{2}+\frac{p^2}{\Delta }\right)-\frac{i}{\tau }-w\right) \left(\varepsilon _c+\frac{\Delta }{2}+\frac{p^2}{\Delta }-\frac{i}{\tau }\right)},$$

где $\Delta$ получается из подстановки $\varepsilon_c'=\frac{\Delta}{2}+\frac{p'^2}{\Delta}$, $\varepsilon_v'=-\frac{\Delta}{2}-\frac{p'^2}{\Delta}$.

Т.о. первый интеграл берётся полюсами нормально. Но во втором, некоторые полюса оказываются на вещественной оси (в скобках пропадают мнимые единицы). Тогда, я попробовал взять второй интеграл (по $p'^2$), перейдя к пределу по тау и заменив знаменатель, содержащий $\omega$, на дельта-функцию, и взял его. Но третий интеграл (по $p$)- разошёлся.

Как продраться дальше - пока не знаю.

[Walker_XXI]

Otta в сообщении #1479418 писал(а):

Ну если подходить к делу всерьез, я бы начала с нормального определения дельта-функции. И посмотрите и на формулу Сохоцкого, и на ее доказательство.

Physman в сообщении #1479451 писал(а):

Возможно это очень базовые знания, которые всем должны быть известны, но мне - нет. Тогда подскажите, пожалуйста, книгу (для начала).

Раз уж используете метод функций Грина, то стоит ознакомиться со строгой теорией обобщённых функций, о чём тут не раз говорилось. Вопросов действительно будет меньше. Рекомендую книгу В.С.Владимирова "Уравнения математической физики", глава II - неплохое введение в предмет для физиков с достаточной степенью строгости. Обратите особое внимание на формулы Сохоцкого и их вывод, на замену переменных в о.ф. Может ещё что интересное для себя найдёте.