Линейно независимые системы векторов

[oleg.k]

Пытаюсь доказать, что в бесконечномерном линейном пространстве найдется линейно независимая система векторов, длина которой не меньше любого наперед заданного натурального числа. Система подразумевает конечность и упорядоченность. Я пользуюсь следующими определениями: базис - система векторов ЛП, через которую можно выразить любой вектор данного пространства, при том единственным образом; бесконечномерное пространство - пространство, в котором нету базиса. Я знаю, что можно рассматривать и бесконечные базисы, но мне пока и так нормально. То, что в конечномерном ЛП начиная с некоторой длины все системы линейно зависимы мне тоже понятно. А вот то, что не бывает бесконечномерных пространств с этим свойством доказать не могу. Мне бы только намек, а доказательство я бы сам восстановил бы. Заранее спасибо.

[pogulyat_vyshel]

Опр. Базисом (алгебраическим) линейного пространства $X$ называется набор векторов $\mathcal E=\{e_\alpha\}\subset X$ такой, что
1) любое конечное подмножество этой системы линейно независимо
2) любой вектор $x\in X$ является линейной комбинацией конечного набора векторов из $\mathcal E$.


Теорема. В любом линейном пространстве существует базис.

[svv]

oleg.k в сообщении #1479492 писал(а):

Система подразумевает конечность и упорядоченность.
...
бесконечномерное пространство - пространство, в котором нету базиса. Я знаю, что можно рассматривать и бесконечные базисы, но мне пока и так нормально.

Закрою на эту терминологию глаза и постараюсь в Вашем вопросе вовсе обойтись без понятия базиса.

Рассмотрим векторное пространство $V$ с хотя бы одним ненулевым вектором. Обозначим через $S(n)$ утверждение:
В пространстве $V$ существует система из $n$ линейно независимых векторов.
Таким образом, $S(1)$. Очевидно, при натуральных $m<n$ из $S(n)$ следует $S(m)$, а из $\overline{S(m)}$ следует $\overline{S(n)}$.

Ключевой вопрос:
Существует ли такое $n$, что $S(n) \wedge \overline{S(n+1)}$ ?
Что, если «да»? Что, если «нет»?

[oleg.k]

svv в сообщении #1479497 писал(а):

Ключевой вопрос:
Существует ли такое $n$, что $S(n) \wedge \overline{S(n+1)}$ ?
Что, если «да»? Что, если «нет»?

Возьмем любое $n$ мерное ЛП. Возьмем любой его базис. Это будет линейно независимая система векторов, состоящая из $n$ позиций. Если мы возьмем любую систему векторов длины $n+1$, то она будет линейно зависима. Т.е. ответ "да". Я правильно понял вопрос?

[svv]

Я имел в виду другое. В природе встречаются оба случая. Но если ответ «да», то пространство конечномерное.
А если «нет», Вы сразу получаете желаемое утверждение.

[oleg.k]

svv в сообщении #1479504 писал(а):

А если «нет», Вы сразу получаете желаемое утверждение.

Дак если $n$ существует, то как "нет" то может быть? :) В общем, я ничего не понял, простите)

[svv]

Ну Вы же сами сказали, что в бесконечномерном пространстве не существует (конечного) базиса. Какое $n$ ни возьми, найдётся система из $n$ линейно независимых векторов. Поэтому нет такого $n$, что $n$ линейно независимых векторов существует, а $n+1$ уже не существует. Т.е. для бесконечномерных пространств ответ — нет.

-- Вс авг 16, 2020 22:54:32 --

svv в сообщении #1479497 писал(а):

Ключевой вопрос:
Существует ли такое $n$, что $S(n) \wedge \overline{S(n+1)}$ ?

Словами: существует ли такое $n$, что в пространстве $V$ существует система из $n$ линейно независимых векторов, но не существует системы из $n+1$ линейно независимых векторов?

Вы правильно поняли вопрос? Ещё раз подчеркну, что для разных пространств ответы разные.

[oleg.k]

svv в сообщении #1479513 писал(а):

Ну Вы же сами сказали, что в бесконечномерном пространстве не существует (конечного) базиса.

Да, по определению.

svv в сообщении #1479513 писал(а):

Какое $n$ ни возьми, найдётся система из $n$ линейно независимых векторов.

Я это (в немного более слабой форме) доказать пытаюсь. Я не вижу, как это предложение вытекает из первого.

[svv]

svv в сообщении #1479513 писал(а):

Ну Вы же сами сказали, что в бесконечномерном пространстве не существует (конечного) базиса. Какое $n$ ни возьми, найдётся система из $n$ линейно независимых векторов. Поэтому нет такого $n$, что $n$ линейно независимых векторов существует, а $n+1$ уже не существует. Т.е. для бесконечномерных пространств ответ — нет.

Вот это, что я написал — «забегание вперёд». Это не есть часть рассуждений. По крайней мере, я не рекомендую с этого начинать. Я понимаю, что Вы знаете, что это верно, но затрудняетесь доказать это. Я написал это, только чтобы показать, что ответ «нет» тоже возможен.

Вместо этого я предлагаю рассмотреть каждый из вариантов ответа на ключевой вопрос (допуская, что оба ответа возможны). И в каждом случае выяснить, что следует из данного ответа.

[oleg.k]

svv в сообщении #1479513 писал(а):

Словами: существует ли такое $n$, что в пространстве $V$ существует система из $n$ линейно независимых векторов, но не существует системы из $n+1$ линейно независимых векторов?

У меня проблема интерпретации. Я не понимаю, где здесь какие кванторы. Подозреваю, что Вы спрашиваете вот что:

"Существует ли такое векторное пространство, в котором существует такое $n$, что найдется линейно независимая система из $n$ позиций и вместе с этим любая система из $n + 1$ позиций будет линейно зависима?". Ответ - да, существует. Любое $n$-мерное пространство.

Если я опять не так понял Ваш вопрос, можно тогда попросить Вас сформулировать его попрозрачнее?

[svv]

Задаёмся векторным пространством $V$. Для него и только для него ставим вопрос:
Существует ли такое $n$, что в выбранном $V$ найдется линейно независимая система из $n$ векторов и любая система из $n + 1$ векторов будет линейно зависима?

Однозначно ответить невозможно, так как ответ зависит от того, какое пространство $V$ рассматривается. Но оба возможных варианта ответа надо рассмотреть.

[oleg.k]

svv в сообщении #1479521 писал(а):

Задаёмся векторным пространством $V$. Для него и только для него ставим вопрос:
Существует ли такое $n$, что в выбранном $V$ найдется линейно независимая система из $n$ векторов и любая система из $n + 1$ векторов будет линейно зависима?

Иногда существует, иногда нет. Если $V$ конечномерно, то всегда существует: в качестве $n$ можно взять его размерность. Если $V$ бесконечномерно, то как минимум иногда не существует. Возьмем пространство функций из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$. Какое бы $n$ мы бы ни взяли, система векторов $(1, x, x^2, ... , x^{n-1})$ будет линейно независимой, следовательно это пространство бесконечномерно и в нем такого $n$ не существует.

[svv]

oleg.k в сообщении #1479523 писал(а):

Иногда существует, иногда нет. Если $V$ конечномерно, то всегда существует: в качестве $n$ можно взять его размерность. Если $V$ бесконечномерно, то как минимум иногда не существует. Возьмем пространство функций из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$. Какое бы $n$ мы бы ни взяли, система векторов $(1, x, x^2, ... , x^{n-1})$ будет линейно независимой, следовательно это пространство бесконечномерно и в нем такого $n$ не существует.

Верно. Но попробуем не опираться на заранее известную размерность и, в каком-то смысле, обратить логику рассуждений.

Допустим, выбранное $V$ таково, что ответ «да» (и это всё, что известно про пространство $V$!). Что тогда?
Тогда для некоторого $n$ существует линейно независимая система $(v_1, \ldots, v_n)$, и пополнение системы любым вектором $a$ превращает систему в линейно зависимую:
$c_1v_1+\ldots+c_nv_n+c_{n+1}a=0$,
где не все коэффициенты $c_i$ нулевые. Коэффициент $c_{n+1}\neq 0$, в противном случае система $(v_1, \ldots, v_n)$ зависима. Тогда можно обе части поделить на $c_{n+1}$ и выразить $a$ через $v_1, \ldots v_n$. Следовательно, эта система не только линейно независима, но и полна, то есть является базисом. Следовательно, в $V$ существует конечный базис, то есть $V$ конечномерно. Согласны?

[oleg.k]

Утверждение Пусть $V$ - произвольное бесконечномерное векторное пространство и $n \in \mathbb{N}$ - произвольное натуральное число (считаем натуральные числа строго положительными). Тогда в пространстве $V$ существует линейно независимая система из $n$ позиций.

Доказательство Метод от противного. Пусть нашлось некоторое бесконечномерное векторное пространство $W$ и некоторое $k \in \mathbb{N}$ такие, что любая система векторов из $W$ длины $k$ линейно зависима. Тогда $k > 1$. Это вытекает из следующего рассуждения: любое конечное ВП конечномерно, следовательно, любое бесконечномерное ВП бесконечно, следовательно в $W$ найдется ненулевой элемент $\upsilon_0$, следовательно система $(\upsilon_0)$ линейно независима, таким образом, не любая система, состоящая из одного вектора линейно зависима. Может оказаться так, что среди систем векторов из $k - 1$ позиций найдется как минимум одна линейно независимая. Тогда положим $p := k - 1$. Но может оказаться и так, что все системы из $k - 1$ векторов тоже линейно зависимы. Тогда рассмотрим системы из $k - 2$ векторов. Продолжая этот процесс мы рано или поздно придем к некоторому числу $p \in \mathbb{N}, p \geqslant 1$ такому, что среди систем длины $p$ заведомо есть хотя бы одна линейно независимая, а все системы из $p + 1$ векторов линейно зависимы. Возьмем любую линейно независимую систему векторов из $W$, состоящую из $p$ векторов: $(\nu_1, ... , \nu_p)$. Выберем произвольный $a \in W$. Тогда система векторов $(\nu_1, ... , \nu_p, a)$ будет линейно зависимой, следовательно существует нетривиальная линейная комбинация $\lambda_1 \nu_1 + ... + \lambda_p \nu_p + \lambda_{p + 1} a = 0$. В этой линейной комбинации $\lambda_{p + 1}\ne 0$ (т.к. если бы $\lambda_{p + 1}= 0$, то в виду нетривиальности линейной комбинации, среди $\lambda_i, 1 \leqslant i \leqslant p$ нашлась бы ненулевая лямбда, и оказалось бы, что существует нетривиальная линейная комбинация $\lambda_1 \nu_1 + ... + \lambda_p \nu_p = 0$, что противоречит линейной независимости системы $(\nu_1, ... , \nu_p)$.) Тогда получается, что вектор $a$ можно выразить через $(\nu_1, ... , \nu_p)$. По итогу имеем линейно независимую систему векторов $(\nu_1, ... , \nu_p)$, через которую получилось выразить произвольный вектор $a$. Следовательно, эта система является базисом $W$, что противоречит бесконечномерности $W$. Получили противоречие, теорема доказана.



Спасибо Вам большое за помощь. Вроде все правильно написал.

[svv]

Ok.