2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 21:36 


17/08/19
246
Пытаюсь доказать, что в бесконечномерном линейном пространстве найдется линейно независимая система векторов, длина которой не меньше любого наперед заданного натурального числа. Система подразумевает конечность и упорядоченность. Я пользуюсь следующими определениями: базис - система векторов ЛП, через которую можно выразить любой вектор данного пространства, при том единственным образом; бесконечномерное пространство - пространство, в котором нету базиса. Я знаю, что можно рассматривать и бесконечные базисы, но мне пока и так нормально. То, что в конечномерном ЛП начиная с некоторой длины все системы линейно зависимы мне тоже понятно. А вот то, что не бывает бесконечномерных пространств с этим свойством доказать не могу. Мне бы только намек, а доказательство я бы сам восстановил бы. Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 22:04 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Опр. Базисом (алгебраическим) линейного пространства $X$ называется набор векторов $\mathcal E=\{e_\alpha\}\subset X$ такой, что
1) любое конечное подмножество этой системы линейно независимо
2) любой вектор $x\in X$ является линейной комбинацией конечного набора векторов из $\mathcal E$.


Теорема. В любом линейном пространстве существует базис.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 22:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
oleg.k в сообщении #1479492 писал(а):
Система подразумевает конечность и упорядоченность.
...
бесконечномерное пространство - пространство, в котором нету базиса. Я знаю, что можно рассматривать и бесконечные базисы, но мне пока и так нормально.
Закрою на эту терминологию глаза и постараюсь в Вашем вопросе вовсе обойтись без понятия базиса.

Рассмотрим векторное пространство $V$ с хотя бы одним ненулевым вектором. Обозначим через $S(n)$ утверждение:
В пространстве $V$ существует система из $n$ линейно независимых векторов.
Таким образом, $S(1)$. Очевидно, при натуральных $m<n$ из $S(n)$ следует $S(m)$, а из $\overline{S(m)}$ следует $\overline{S(n)}$.

Ключевой вопрос:
Существует ли такое $n$, что $S(n) \wedge \overline{S(n+1)}$ ?
Что, если «да»? Что, если «нет»?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 22:34 


17/08/19
246
svv в сообщении #1479497 писал(а):
Ключевой вопрос:
Существует ли такое $n$, что $S(n) \wedge \overline{S(n+1)}$ ?
Что, если «да»? Что, если «нет»?

Возьмем любое $n$ мерное ЛП. Возьмем любой его базис. Это будет линейно независимая система векторов, состоящая из $n$ позиций. Если мы возьмем любую систему векторов длины $n+1$, то она будет линейно зависима. Т.е. ответ "да". Я правильно понял вопрос?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Я имел в виду другое. В природе встречаются оба случая. Но если ответ «да», то пространство конечномерное.
А если «нет», Вы сразу получаете желаемое утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 22:46 


17/08/19
246
svv в сообщении #1479504 писал(а):
А если «нет», Вы сразу получаете желаемое утверждение.
Дак если $n$ существует, то как "нет" то может быть? :) В общем, я ничего не понял, простите)

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Ну Вы же сами сказали, что в бесконечномерном пространстве не существует (конечного) базиса. Какое $n$ ни возьми, найдётся система из $n$ линейно независимых векторов. Поэтому нет такого $n$, что $n$ линейно независимых векторов существует, а $n+1$ уже не существует. Т.е. для бесконечномерных пространств ответ — нет.

-- Вс авг 16, 2020 22:54:32 --

svv в сообщении #1479497 писал(а):
Ключевой вопрос:
Существует ли такое $n$, что $S(n) \wedge \overline{S(n+1)}$ ?
Словами: существует ли такое $n$, что в пространстве $V$ существует система из $n$ линейно независимых векторов, но не существует системы из $n+1$ линейно независимых векторов?

Вы правильно поняли вопрос? Ещё раз подчеркну, что для разных пространств ответы разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 22:57 


17/08/19
246
svv в сообщении #1479513 писал(а):
Ну Вы же сами сказали, что в бесконечномерном пространстве не существует (конечного) базиса.
Да, по определению.

svv в сообщении #1479513 писал(а):
Какое $n$ ни возьми, найдётся система из $n$ линейно независимых векторов.
Я это (в немного более слабой форме) доказать пытаюсь. Я не вижу, как это предложение вытекает из первого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
svv в сообщении #1479513 писал(а):
Ну Вы же сами сказали, что в бесконечномерном пространстве не существует (конечного) базиса. Какое $n$ ни возьми, найдётся система из $n$ линейно независимых векторов. Поэтому нет такого $n$, что $n$ линейно независимых векторов существует, а $n+1$ уже не существует. Т.е. для бесконечномерных пространств ответ — нет.
Вот это, что я написал — «забегание вперёд». Это не есть часть рассуждений. По крайней мере, я не рекомендую с этого начинать. Я понимаю, что Вы знаете, что это верно, но затрудняетесь доказать это. Я написал это, только чтобы показать, что ответ «нет» тоже возможен.

Вместо этого я предлагаю рассмотреть каждый из вариантов ответа на ключевой вопрос (допуская, что оба ответа возможны). И в каждом случае выяснить, что следует из данного ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 23:13 


17/08/19
246
svv в сообщении #1479513 писал(а):
Словами: существует ли такое $n$, что в пространстве $V$ существует система из $n$ линейно независимых векторов, но не существует системы из $n+1$ линейно независимых векторов?
У меня проблема интерпретации. Я не понимаю, где здесь какие кванторы. Подозреваю, что Вы спрашиваете вот что:

"Существует ли такое векторное пространство, в котором существует такое $n$, что найдется линейно независимая система из $n$ позиций и вместе с этим любая система из $n + 1$ позиций будет линейно зависима?". Ответ - да, существует. Любое $n$-мерное пространство.

Если я опять не так понял Ваш вопрос, можно тогда попросить Вас сформулировать его попрозрачнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Задаёмся векторным пространством $V$. Для него и только для него ставим вопрос:
Существует ли такое $n$, что в выбранном $V$ найдется линейно независимая система из $n$ векторов и любая система из $n + 1$ векторов будет линейно зависима?

Однозначно ответить невозможно, так как ответ зависит от того, какое пространство $V$ рассматривается. Но оба возможных варианта ответа надо рассмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 23:30 


17/08/19
246
svv в сообщении #1479521 писал(а):
Задаёмся векторным пространством $V$. Для него и только для него ставим вопрос:
Существует ли такое $n$, что в выбранном $V$ найдется линейно независимая система из $n$ векторов и любая система из $n + 1$ векторов будет линейно зависима?

Иногда существует, иногда нет. Если $V$ конечномерно, то всегда существует: в качестве $n$ можно взять его размерность. Если $V$ бесконечномерно, то как минимум иногда не существует. Возьмем пространство функций из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$. Какое бы $n$ мы бы ни взяли, система векторов $(1, x, x^2, ... , x^{n-1})$ будет линейно независимой, следовательно это пространство бесконечномерно и в нем такого $n$ не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение16.08.2020, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
oleg.k в сообщении #1479523 писал(а):
Иногда существует, иногда нет. Если $V$ конечномерно, то всегда существует: в качестве $n$ можно взять его размерность. Если $V$ бесконечномерно, то как минимум иногда не существует. Возьмем пространство функций из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$. Какое бы $n$ мы бы ни взяли, система векторов $(1, x, x^2, ... , x^{n-1})$ будет линейно независимой, следовательно это пространство бесконечномерно и в нем такого $n$ не существует.
Верно. Но попробуем не опираться на заранее известную размерность и, в каком-то смысле, обратить логику рассуждений.

Допустим, выбранное $V$ таково, что ответ «да» (и это всё, что известно про пространство $V$!). Что тогда?
Тогда для некоторого $n$ существует линейно независимая система $(v_1, \ldots, v_n)$, и пополнение системы любым вектором $a$ превращает систему в линейно зависимую:
$c_1v_1+\ldots+c_nv_n+c_{n+1}a=0$,
где не все коэффициенты $c_i$ нулевые. Коэффициент $c_{n+1}\neq 0$, в противном случае система $(v_1, \ldots, v_n)$ зависима. Тогда можно обе части поделить на $c_{n+1}$ и выразить $a$ через $v_1, \ldots v_n$. Следовательно, эта система не только линейно независима, но и полна, то есть является базисом. Следовательно, в $V$ существует конечный базис, то есть $V$ конечномерно. Согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение17.08.2020, 00:46 


17/08/19
246
Утверждение Пусть $V$ - произвольное бесконечномерное векторное пространство и $n \in \mathbb{N}$ - произвольное натуральное число (считаем натуральные числа строго положительными). Тогда в пространстве $V$ существует линейно независимая система из $n$ позиций.

Доказательство Метод от противного. Пусть нашлось некоторое бесконечномерное векторное пространство $W$ и некоторое $k  \in \mathbb{N}$ такие, что любая система векторов из $W$ длины $k$ линейно зависима. Тогда $k > 1$. Это вытекает из следующего рассуждения: любое конечное ВП конечномерно, следовательно, любое бесконечномерное ВП бесконечно, следовательно в $W$ найдется ненулевой элемент $\upsilon_0$, следовательно система $(\upsilon_0)$ линейно независима, таким образом, не любая система, состоящая из одного вектора линейно зависима. Может оказаться так, что среди систем векторов из $k - 1$ позиций найдется как минимум одна линейно независимая. Тогда положим $p := k - 1$. Но может оказаться и так, что все системы из $k - 1$ векторов тоже линейно зависимы. Тогда рассмотрим системы из $k - 2$ векторов. Продолжая этот процесс мы рано или поздно придем к некоторому числу $p \in \mathbb{N}, p \geqslant 1$ такому, что среди систем длины $p$ заведомо есть хотя бы одна линейно независимая, а все системы из $p + 1$ векторов линейно зависимы. Возьмем любую линейно независимую систему векторов из $W$, состоящую из $p$ векторов: $(\nu_1, ... , \nu_p)$. Выберем произвольный $a \in W$. Тогда система векторов $(\nu_1, ... , \nu_p, a)$ будет линейно зависимой, следовательно существует нетривиальная линейная комбинация $\lambda_1 \nu_1 + ... + \lambda_p \nu_p + \lambda_{p + 1} a = 0$. В этой линейной комбинации $\lambda_{p + 1}\ne 0$ (т.к. если бы $\lambda_{p + 1}= 0$, то в виду нетривиальности линейной комбинации, среди $\lambda_i, 1 \leqslant i \leqslant p$ нашлась бы ненулевая лямбда, и оказалось бы, что существует нетривиальная линейная комбинация $\lambda_1 \nu_1 + ... + \lambda_p \nu_p = 0$, что противоречит линейной независимости системы $(\nu_1, ... , \nu_p)$.) Тогда получается, что вектор $a$ можно выразить через $(\nu_1, ... , \nu_p)$. По итогу имеем линейно независимую систему векторов $(\nu_1, ... , \nu_p)$, через которую получилось выразить произвольный вектор $a$. Следовательно, эта система является базисом $W$, что противоречит бесконечномерности $W$. Получили противоречие, теорема доказана.



Спасибо Вам большое за помощь. Вроде все правильно написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Линейно независимые системы векторов
Сообщение17.08.2020, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Ok. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group