Различные принципы непрерывности

[VoprosT]

Здравствуйте.

Помогите, пожалуйста, доказать эквивалентность следующих утверждений аксиоме полноты:
а) Принцип вложенных отрезков Коши-Кантора вместе с принципом Архимеда
б) Лемма о конечном покрытии
в) Лемма о предельной точке (в такой формулировке: у всякого бесконечного ограниченного множества есть по крайней мере одна предельная точка)

Из аксиомы полноты эти утверждения выводятся нетрудно, в то же время разобрался с обратным ходом от вложенных отрезков и Архимеда к полноте, но совсем не понимаю, как быть с б) и в). От противного не выходит. Пытался строить какую-то последовательность(слева из множества А и справа из множества B в условии аксиомы полноты) для в), но тоже далеко не ушёл.

[mihaild]

Возьмите последовательность вложенных отрезков с пустым пересечением. Возьмите по точке на каждом отрезке (например левый конец каждого отрезка). Что можно сказать про это множество точек?

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1478883 писал(а):

Возьмите последовательность вложенных отрезков с пустым пересечением. Возьмите по точке на каждом отрезке (например левый конец каждого отрезка). Что можно сказать про это множество точек?

Это множество бесконечное и ограниченное. Значит есть предельная точка, надо как-то показать, что она разделяет два множества(для аксиомы полноты)?

P.s. Что-то я не очень понимаю, как у вложенных отрезков заранее может быть пустое пересечение. Может просто последовательность вложенных отрезков, без информации об их пересечении?

[VoprosT]

Как дело обстоит с "принцип вложенных отрезков $+$ Архимед $\Rightarrow$ аксиома полноты"(это не моё доказательство, я нашел его ещё до написания поста и разобрал):
Рассмотрим два непустых множества $A \subset \mathbb{R}, B \subset \mathbb{R}\colon \forall a \in A, \forall b \in B \quad a \leqslant b$
Возьмём $a \in A , b \in B$, если $a = b$, то $c=a=b$ и $a \leqslant c \leqslant b$. Если $a \ne b$,положим $[a,b] = [a_1,b_1]$ рассмотрим далее два отрезка $[a_1, \frac{a_1 + b_1}{2}]$ и $[\frac{a_1 + b_1}{2},b_1]$. Если какой-то содержит точки обоих множеств, обозначим его $[a_2,b_2]$, если такого нет, то $c = \frac{a_1 + b_1}{2}$. Продолжаем построение, либо оно обрывается и предъявляем $c = \frac{a_n + b_n}{2}$,либо мы получаем систему вложенных отрезков, у них есть общая точка, из принципа Архимеда показываем, что отрезки по длине стремятся к нулю, поэтому не может быть так, что $a' \in A > c$ или $b' \in B < c$.

"Если какой-то содержит точки обоих множеств, обозначим его $[a_2,b_2]$, если такого нет, то $c = \frac{a_1 + b_1}{2}$."
Надо ли здесь обговаривать, что $\frac{a_1 + b_1}{2}$ относим только к одному из отрезков(потому что мы сказали, что нет отрезка с точками из обоих множеств)? И как это обговорить до того, как мы полагаем $c$, равным этому концу отрезка?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479173 писал(а):

Что-то я не очень понимаю, как у вложенных отрезков заранее может быть пустое пересечение

Предполагаем, что а) не выполнено, и хотим из этого опровергнуть в). Сделав это, мы покажем, что из в) следует а). Что из а) следует полнота вы, как я понимаю, уже показали.

VoprosT в сообщении #1479244 писал(а):

Надо ли здесь обговаривать, что $\frac{a_1 + b_1}{2}$ относим только к одному из отрезков(потому что мы сказали, что нет отрезка с точками из обоих множеств)?

А зачем? Нам же в таком сценарии не нужно будет выбирать отрезок, мы сразу нашли точку $c$.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479266 писал(а):

VoprosT в сообщении #1479173 писал(а):

Что-то я не очень понимаю, как у вложенных отрезков заранее может быть пустое пересечение

Предполагаем, что а) не выполнено, и хотим из этого опровергнуть в).

Берём пересечение вложенных отрезков(а надо работать сразу со стягивающимися отрезками или нет?), множество левых(или правых) концов бесконечно и ограничено, согласно лемме у этого множества есть предельная точка $c$(кажется, сейчас я доказываю не от противного, а в лоб), попробую показать, что эта точка принадлежит всем отрезкам:
Пускай $\exists m \colon \; c \ne [a_m,b_m]$, то есть $(c < a_m) \vee (b_m < c)$. Тогда для всех $m' > m$ точка $c$ не принадлежит отрезку $[a_{m'}, b_{m'}]$. Положим $\varepsilon = c - a_m$(или $b_m - c$), тогда в такой окрестности лишь конечное число точек множества, противоречие с тем, что $c$ - предельная точка(я,пошёл чуть в другую сторону в доказательстве "от противного", но суть, как я понял, одна и та же, я мог изначально предположить пустоту пересечения и говорить, что для любой точки найдётся отрезок, которому она не принадлежит, следовательно, не будет и предельных точек у множества концов, либо сделать так, как сделал я). Похоже на правду? Ощущение, что не похоже. А вроде похоже.
Теперь (это к вопросу о том, стягивающиеся ли были отрезки,по-моему,это пока что нас не интересовало) ещё надо вывести из Леммы о предельной точке Принцип Архимеда(?).

mihaild в сообщении #1479266 писал(а):

VoprosT в сообщении #1479244 писал(а):

Надо ли здесь обговаривать, что $\frac{a_1 + b_1}{2}$ относим только к одному из отрезков(потому что мы сказали, что нет отрезка с точками из обоих множеств)?

А зачем? Нам же в таком сценарии не нужно будет выбирать отрезок, мы сразу нашли точку $c$.

Просто в этом случае ключевым моментом является тот факт, что ни в одном отрезке нет точек из обоих множеств, и если $с = \frac{a_n + b_n}{2}$ оказалось в $A$, то отрезок $[\frac{a_n + b_n}{2},b_n]$ содержит точки обоих множеств(противоречие?).


P.s. Ещё один момент: извините, я, кажется, запутал и себя и вас. Суть упражнения (оно, к слову, из Зорича) в том, чтобы показать эквивалентность следующих утверждений:

а) Лемма о предельной точке $\Leftrightarrow$ (Аксиома полноты + принцип Архимеда) ; здесь Зорич,кстати делает замечание о том,что из этой леммы следуют аксиома полноты и принцип Архимеда в прежней форме, видимо, для того, чтобы читатель вывел принцип Архимеда из леммы о предельной точке.
б) Лемма о конечном покрытии $\Leftrightarrow$ Аксиома полноты (интересно, почему здесь Зорич не говорит о том, что принцип Архимеда тоже следует? Тяжелее его вывести отсюда?)
в) Принцип Архимеда + лемма о вложенных отрезках $\Leftrightarrow$ Аксиома полноты(этот пункт уже разобран,в том числе с вашей помощью, mihaild, спасибо!)

То есть изначально интерес у меня был в том, чтобы напрямую показать эти утверждения, но интересно разобраться в обоих подходах к доказательству. Я примерно понимаю, что суть одна и та же (стоит только посмотреть на мой предыдущий пост о рациональных числах), но что-то мне мешает.

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479307 писал(а):

ещё надо вывести из Леммы о предельной точке Принцип Архимеда(?)

Да, надо. Но это несложно: просто заметьте, что принцип Архимеда эквивалентен неограниченности множества целых чисел.

VoprosT в сообщении #1479307 писал(а):

Просто в этом случае ключевым моментом является тот факт, что ни в одном отрезке нет точек из обоих множеств

Можно расписать так. Есть три варианта для точки $c_n$:
1) $c_n \in A$ - переходим к отрезку $[c_n, b_n]$
2) $c_n \in B$ - переходим к отрезку $[a_n, c_n]$
3) $c_i \notin A \wedge c_n \notin B$ - точка $c$ разделяет наши множества
Если выполнены и 1) и 2), то $c$ принадлежит обоим множествам, и можно либо сразу взять её, либо перейти к любому из двух вариантов

Как определяется полнота - существование верхней грани у любого ограниченного множества (=если в одном множестве элементы меньше чем в другом, то их можно отделить)? Из неё следует принцип Архимеда (т.к. конечной точной верхней грани у инвариантного по сдвигу множества быть не может). Поэтому мне очень странно, что предлагается принцип Архимеда добавлять к полноте.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479323 писал(а):

Да, надо. Но это несложно: просто заметьте, что принцип Архимеда эквивалентен неограниченности множества целых чисел.

Если $\mathbb{Z}$ ограничено, то у него есть предельная точка, так как оно бесконечно. Но для любого $x_0 \in \mathbb{R}$ в окрестности радиуса $\frac{1}{2}$ не больше одной целой точки - противоречие. Хм, было бы неудобно проверять, что есть пустая проколотая окрестность у любого кандидата на должность предельной точки, верно? Надо было бы брать окрестность меньшую, чем расстояние до ближайшей целой точки, но что такое ближайшая целая точка без принципа Архимеда и не ясно вовсе(?).

mihaild в сообщении #1479323 писал(а):

3) $c_in \notin A \wedge c_n \notin B$ - точка $c$ разделяет наши множества

Понял, спасибо!

mihaild в сообщении #1479323 писал(а):

Поэтому мне очень странно, что предлагается принцип Архимеда добавлять к полноте.

Похоже, В.А.Зорич действительно просто хотел, чтобы читатель лишний раз поупражнялся.

Итак, осталось из Леммы о конечном покрытии(а принцип Архимеда из неё трудно или не трудно вывести?Выясню это) вывести аксиому полноты и из Леммы о предельной точке, минуя вложенные отрезки, вывести аксиому полноты. Попробую доделать.

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479355 писал(а):

Надо было бы брать окрестность меньшую, чем расстояние до ближайшей целой точки, но что такое ближайшая целая точка без принципа Архимеда и не ясно вовсе

А вы берите расстояние не просто до ближайшей целой, а до ближайшей целой, попавшей в окрестность радиуса $\frac{1}{2}$ (если такая есть).

VoprosT в сообщении #1479355 писал(а):

а принцип Архимеда из неё трудно или не трудно вывести?

Нетрудно. Представьте, что принцип Архимеда не выполнен, т.е. есть число $x$, большее всех натуральных, и изготовьте отрезок и покрытие (покрытие можно будет константного радиуса взять).

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479371 писал(а):

(покрытие можно будет константного радиуса взять).

Я,возможно,слаб в терминологии, не совсем понимаю, что это значит

Мои мысли примерно такие: будем покрывать отрезок $[1,x]$ (где $x$ - мажоранта $\mathbb{N}$) интервалами вида $(n,x+1)$ для $n=0,1,2,3...$ и не сможем выделить конечное подпокрытие.
Но звучат они не очень строго, это что-то вроде мыслей перед сном, на свежую голову подумаю ещё раз.

mihaild в сообщении #1479371 писал(а):

А вы берите расстояние не просто до ближайшей целой, а до ближайшей целой, попавшей в окрестность радиуса $\frac{1}{2}$ (если такая есть).

Да, понял, если в такую окрестность попала целая точка, смотрим на проколотую окрестность радиуса меньше, чем расстояние до неё, и она(окрестность) оказывается пустой - плохо.

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479479 писал(а):

не совсем понимаю, что это значит

Это значит что все отрезки имеют одну и ту же длину.

VoprosT в сообщении #1479479 писал(а):

будем покрывать отрезок $[1,x]$ (где $x$ - мажоранта $\mathbb{N}$) интервалами вида $(n,x+1)$ для $n=0,1,2,3...$

Так не пройдет: просто возьмем первый же интервал $(0, x + 1)$.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479510 писал(а):

Так не пройдет: просто возьмем первый же интервал $(0, x + 1)$.

Не в ту сторону подумал и/или написал, похоже, надо что-то такое(и можно шагать не через один, но не суть): $(n, n+k)$, где $k \in \mathbb{N}$ фиксировано. Очевидно, что не выделить конечную систему, а обоснование очевидности такое у меня: пусть мы выбрали конечное подпокрытие, последний интервал имеет вид $(n', n' +k)$ и число $n'+k+1$ ему не принадлежит, значит, $\mathbb{N}$ в отрезок $[1,x]$ не уместить, то есть натуральный ряд не ограничен сверху. Примерно так?

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479591 писал(а):

: $(n, n+k)$, где $k \in \mathbb{N}$ фиксировано

А $n$ какое? Если тоже натуральное, то вы до $x - \frac{1}{2}$ не дотянетесь.

[VoprosT]

mihaild в сообщении #1479605 писал(а):

VoprosT в сообщении #1479591 писал(а):

: $(n, n+k)$, где $k \in \mathbb{N}$ фиксировано

А $n$ какое? Если тоже натуральное, то вы до $x - \frac{1}{2}$ не дотянетесь.

Хм, тогда, попробую так: $k = \left\lvert x - n_{\max} \right\rvert + 1$ ($k$ необязательно натуральное, просто вещественное, а $n_{\max}$ - наибольшее из всех $n \in \mathbb{N}$), интервалы имеют вид $(x - t \cdot k,x+1) , t = 1, 2,3...$ или $(0,t \cdot k)$. Но не нравятся мне мои рассуждения, где вообще гарантии, что я доберусь до $1$(первое покрытие) или до $x$(второе покрытие). Ещё не понимаю вот что: в поле рациональных функций (если на нём ввести определённый линейный порядок) принцип Архимеда не выполнен, потому что там $x$ мажорирует любую константу, и там покрытие не изготовить вообще никак, потому что левый конец отрезка - число, а правый - функция. Ещё там проблема с тем, что нет максимального натурального числа, хотя $\mathbb{N}$ ограничено сверху. А почему мы можем быть уверены, что можем покрыть отрезок $[1,x]$ в нашем примере? Потому что живём в $\mathbb{R}$? И можно ли говорить о том, что там есть максимальный элемент, если оно ограничено? Видимо, сперва надо из леммы о конечном покрытии вывести аксиому полноты(или принцип верхней грани), чтобы так рассуждать?

P.s. Я вас, наверное, уже замучил своими вопросами, прошу прощения.

[mihaild]

VoprosT в сообщении #1479709 писал(а):

$n_{\max}$ - наибольшее из всех $n \in \mathbb{N}$

Из того, что $\mathbb N$ ограничено, не следует, что в нём есть наибольший элемент.

VoprosT в сообщении #1479709 писал(а):

Но не нравятся мне мои рассуждения

Давайте подскажу: исходное покрытие не обязано быть счетным. Сможете покрыть отрезок $[1, x]$ интервалами длины $1$ (конечным числом точно не получится, а вот бесконечным?..).

VoprosT в сообщении #1479709 писал(а):

и там покрытие не изготовить вообще никак, потому что левый конец отрезка - число, а правый - функция

Это не мешает изготовить покрытие. Стандартный порядок на рациональных функциях устроен очень странно.

VoprosT в сообщении #1479709 писал(а):

А почему мы можем быть уверены, что можем покрыть отрезок $[1,x]$ в нашем примере? Потому что живём в $\mathbb{R}$?

Нет, мы как раз в $\mathbb R$ не живем, когда рассуждаем о таких штуках. Собственно говоря о принципе Архимеда мы и пытаемся отличить $\mathbb{R}$ от, например, поля рациональных функций.

VoprosT в сообщении #1479709 писал(а):

И можно ли говорить о том, что там есть максимальный элемент, если оно ограничено?

Нельзя. Даже в обычном $\mathbb{R}$ в множестве $(0, 1)$ нет максимального элемента, хотя оно и ограничено.