Задачи на фундаментальные группы

[GYNJ]

Добрый день, прошу помочь с вычислением фундаментальных групп некоторых пространств:
1) http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf - 16-ое упражнение на 54-ой страницы, надо доказать, что фундаментальная группа поверхности бесконечного рода это свободная группа с бесконечным числом образующих.
Все что смог придумать это разрезать эту поверхность так чтобы получилась бесконечная серия торов с двумя "дырками" причем так чтобы все соседние пересекались(это будет лента) Дальше решил применить теорему Зейферта-ван-Кампена чтобы представить фундаментальную группу как бесконечное свободное произведение фундаментальных групп торов с двумя "дырками", но как вычислить их фундаментальную группу я не знаю и не факт что эти группы будут без соотношений. Еще есть идея вложить букет и бесконечного числа окружностей так, чтобы каждая обхватывала по одной дырке этой поверхности, тогда эта поверхность деформационно ретрагируется на этот букет, значит фундаментальные группы равны, а у бесконечного букета я знаю- свободное произведение бесконечного числа копий $\mathbb{Z}$ (следует из Зейферта-ван-Кампена)

2) Пусть $X \subset \mathbb{R}^{3}$ - объединение n- прямых проходящих через начало координат. Найти $\pi_{1}(\mathbb{R}^{3}-X)$. Тут, пока что, идей нету, поэтому начал решать в $ \mathbb{R}^{2}$

3) Найти фундаментальную группу склейки двух копий {D^2} \times {S^1}, с помощью гомеоморфизма {S^1} \times {S^1} \to {S^1} \times {S^1} \,\colon (u,v) \to (u^{k} v^{l}, u^{m} v^{n}), где kn-lm=1. Тут я вообще без понятия, даже не понимаю как это выглядит(итоговая склейка).

[Padawan]

GYNJ в сообщении #1478176 писал(а):

2) Пусть $X \subset \mathbb{R}^{3}$ - объединение n- прямых проходящих через начало координат. Найти $\pi_{1}(\mathbb{R}^{3}-X)$. Тут, пока что, идей нету, поэтому начал решать в $ \mathbb{R}^{2}$

Поймите, что $\mathbb{R}^{3}-X$, гомотопически эквивалентно букету нескольких (скольких?) окружностей.

[GYNJ]

Padawan в сообщении #1478549 писал(а):

GYNJ в сообщении #1478176 писал(а):

2) Пусть $X \subset \mathbb{R}^{3}$ - объединение n- прямых проходящих через начало координат. Найти Пусть $X \subset \mathbb{R}^{3}$ - объединение n- прямых проходящих через начало координат.. Тут, пока что, идей нету, поэтому начал решать в $ \mathbb{R}^{2}$

Поймите, что $\mathbb{R}^{3}-X$, гомотопически эквивалентно букету нескольких (скольких?) окружностей.

Я думаю что $\pi_{1}( \mathbb{R}^{3}-X)$ равна свободному произведению n копий $\mathbb{Z}$, там каждая петля будет реализовываться, как спираль, обматывающая одну прямую несколько раз(прямую, которую вычли). Эта спираль будет соответствовать петле, некоторой окружности из букета(как накрытие) потом эта петля будет переходить к другой прямой и т.д. Но как показать именно эквивалентность этих пространств я не уверен что знаю. Знаю что $(\mathbb{R}^{2}-{x_{1};...;x_{n}})$ гомотопически эквивалентна букету из n окружностей, тогда если провести плоскость в $\mathbb{R}^{3}-X$ и выколоть из нее точки в местах, где проходили прямые, от она будет гомотопически эквивалентна этому пространству и тогда задача решена. Ну мне кажется что $f \circ in$ -деформационный ретракт $\mathbb{R}^{3}-X$ на $\mathbb{R}^{2}-{x_{1};...;x_{n}}$, где f- это центральная проекция на эту "плоскость", а in- это отображение включения(вложения) "плоскости" в это пространство, тогда они гомотопически эквивалентны

[vpb]

GYNJ в сообщении #1478723 писал(а):

и выколоть из нее точки в местах, где проходили прямые, от она будет гомотопически эквивалентна этому пространству

Неверное утверждение. В целом, правильная конструкция, но надо брать не плоскость, а ... что ?

-- 13.08.2020, 02:57 --

Кстати, Хатчер есть на русском, если не знали.

[GYNJ]

vpb в сообщении #1478733 писал(а):

GYNJ в сообщении #1478723 писал(а):

и выколоть из нее точки в местах, где проходили прямые, от она будет гомотопически эквивалентна этому пространству

Неверное утверждение. В целом, правильная конструкция, но надо брать не плоскость, а ... что ?

-- 13.08.2020, 02:57 --

Кстати, Хатчер есть на русском, если не знали.

Ну если не плоскость, тогда сфера, по идее, с ней можно провести то же рассуждение, но проблема в том, что она гомотопически эквивалентна букету из n окружностей, но при условии, если из нее выколоть n+1 точку(ну если сфера $ S^{n} $), тогда надо взять сферу $ S^{n-1} $, из нее можно будет выколоть как раз n точек, но каждая прямая пересечет сферу в в двух, может быть тогда взять $ S^{n-1}/(z~-z)$, и она будет деформационно ретрагироваться в это пр-во тем отображением, что я описал?
На счет русской версии Хатчера, я прочитал по ней 83 страницы и нашел 2 ошибки, причем одна из них в формулировке задания

[vpb]

GYNJ в сообщении #1479067 писал(а):

Ну если не плоскость, тогда сфера, по идее, с ней можно провести то же рассуждение, но проблема в том, что она гомотопически эквивалентна букету из n окружностей, но при условии, если из нее выколоть n+1 точку(ну если сфера $ S^{n} $), тогда надо взять сферу $ S^{n-1} $, из нее можно будет выколоть как раз n точек, но каждая прямая пересечет сферу в в двух, может быть тогда взять $ S^{n-1}/(z~-z)$, и она будет деформационно ретрагироваться в это пр-во тем отображением, что я описал?

Тут ничего не понятно. Вам, извините, надо как-то стараться более аккуратно описывать свои рассуждения. Даже, я бы сказал, специально учиться и тренироваться в аккуратном изложении. (Хатчер как образец для этого не подходит совершенно, имейте в виду).

[GYNJ]

vpb в сообщении #1479070 писал(а):

GYNJ в сообщении #1479067 писал(а):

Ну если не плоскость, тогда сфера, по идее, с ней можно провести то же рассуждение, но проблема в том, что она гомотопически эквивалентна букету из n окружностей, но при условии, если из нее выколоть n+1 точку(ну если сфера $ S^{n} $), тогда надо взять сферу $ S^{n-1} $, из нее можно будет выколоть как раз n точек, но каждая прямая пересечет сферу в в двух, может быть тогда взять $ S^{n-1}/(z~-z)$, и она будет деформационно ретрагироваться в это пр-во тем отображением, что я описал?

Тут ничего не понятно. Вам, извините, надо как-то стараться более аккуратно описывать свои рассуждения. Даже, я бы сказал, специально учиться и тренироваться в аккуратном изложении. (Хатчер как образец для этого не подходит совершенно, имейте в виду).

Хорошо, я знаю что $\mathbb{R}^2 \setminus x_{1};...;x_{n}} $ гомотопически эквивалентна букету их n окружностей, но вы сказали, что я использовал этот факт неверно и предложили придумать другое пр-во. Все что пришло в голову это взять ${S}^2 \setminus x_{1};...;x_{n+1}} $, которая будет также гомотопически эквивалентна букету из n окружностей. Но сейчас мне кажется что и это пр-во использовать будет нельзя, ведь $S^{2} \setminus (point)\equiv R^{2} $

[vpb]

GYNJ в сообщении #1479197 писал(а):

но вы сказали, что я использовал этот факт неверно и предложили придумать другое пр-во

Нет, я написал совершенно не это. Я написал

vpb в сообщении #1479070 писал(а):

Тут ничего не понятно. Вам, извините, надо как-то стараться более аккуратно описывать свои рассуждения. Даже, я бы сказал, специально учиться и тренироваться в аккуратном изложении. (Хатчер как образец для этого не подходит совершенно, имейте в виду).

Попоробуйте почитать другие книжки, попроще и поклассичнее, тогда возможно увидите разницу между Хатчером и аккуратным изложением. Хатчер, видите ли, излагает приблизительно, но понятно (как правило), потому, что сам предмет очень хорошо понимает. А Вам так нельзя. У Вас путаница получается.
Книжки, которые я имею в виду, это например
Коснёвски, Начальный курс алгебраической топологии,
Масси, Столлингс, Алгебраическая топология. Введение. (здесь "введение" --- это часть названия книги, а не то, что из книжки надо читать только введение). Прекрасная книга (во всяком случае та часть, которую Масси писал), имхо.
Понтрягин, Основы комбинаторной топологии

Еще была тема в форуме, Хочу быть математиком. Там я ближе к концу я старался объяснить человеку, что значит аккуратно излагать свои рассуждения, но на совсем элементарных задачах.

[GYNJ]

vpb в сообщении #1479254 писал(а):

GYNJ в сообщении #1479197 писал(а):

но вы сказали, что я использовал этот факт неверно и предложили придумать другое пр-во

Нет, я написал совершенно не это. Я написал

vpb в сообщении #1479070 писал(а):

Тут ничего не понятно. Вам, извините, надо как-то стараться более аккуратно описывать свои рассуждения. Даже, я бы сказал, специально учиться и тренироваться в аккуратном изложении. (Хатчер как образец для этого не подходит совершенно, имейте в виду).

Попоробуйте почитать другие книжки, попроще и поклассичнее, тогда возможно увидите разницу между Хатчером и аккуратным изложением. Хатчер, видите ли, излагает приблизительно, но понятно (как правило), потому, что сам предмет очень хорошо понимает. А Вам так нельзя. У Вас путаница получается.
Книжки, которые я имею в виду, это например
Коснёвски, Начальный курс алгебраической топологии,
Масси, Столлингс, Алгебраическая топология. Введение. (здесь "введение" --- это часть названия книги, а не то, что из книжки надо читать только введение). Прекрасная книга (во всяком случае та часть, которую Масси писал), имхо.
Понтрягин, Основы комбинаторной топологии

Еще была тема в форуме, Хочу быть математиком. Там я ближе к концу я старался объяснить человеку, что значит аккуратно излагать свои рассуждения, но на совсем элементарных задачах.

Хорошо, понял. Параллельно почитаю Чеха Косневски. Но все же не хочется забывать и про эти задачи, тем более тематически они понятны. По поводу второй, вы сказали что надо вместо плоскости с n дырками взять что-от другое, может быть стоит сразу взять букет из n окружностей, такую что каждая охватывает по одной прямой, а сами отображения будут аналогичными как в случае для $\mathbb{R}^{2}$?

[vpb]

GYNJ в сообщении #1479502 писал(а):

По поводу второй, вы сказали что надо вместо плоскости с n дырками взять что-от другое, может быть стоит сразу взять букет из n окружностей, такую что каждая охватывает по одной прямой, а сами отображения будут аналогичными как в случае для $\mathbb{R}^{2}$?

Нет, я не это имел в виду. И, позволю себе повториться, вы пишете что-то неопределенное, так что я этого не понимаю.

[GYNJ]

vpb в сообщении #1480405 писал(а):

Нет, я не это имел в виду.

А что тогда имели в виду? Я уже не знаю какое пространство взять, чтобы получилось с букетом связать.