Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1478562 писал(а):

Давайте в выражении для $A(m,n)$ вообще уберем скобки и будет, как в статье:

$$A(m,n)=|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n).$$

и

$$P_n(A(m,n))=P_n(|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)).$$

Что не устраивает?

Второе то правильно, а первое выглядит, как будто есть числовая функция $A(m,n)$, которая равна $|f(m)-A_n|$, и все вместе это $\leq \sigma_n b(n)$. Как-то надо обозначить, что речь идет об утверждении. Ладно, пусть будут кавычки, если не фигурные скобки. За сим пока отключаюсь.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1478562 писал(а):

Что не устраивает?

Нет пояснений. Под знаком $P_n$ должно быть множество (ведь можно говорить только о вероятности множества). А как именно это множество образовалось с помощью предиката $A(m,n)$? Каковы элементы этого множества, например? Это пары чисел $(m,n)$ или это просто числа $m$? Обозначение $A(m,n)$ неудачное, по смыслу $m$ ("переменная") и $n$ ("параметр") различаются. Логичнее было бы обозначить предикат $A_n(m)$.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1478569 писал(а):

Нет пояснений. Под знаком $P_n$ должно быть множество (ведь можно говорить только о вероятности множества).

Значит фигурные скобки.

Цитата:

по смыслу $m$ ("переменная") и $n$ ("параметр") различаются. Логичнее было бы обозначить предикат $A_n(m)$.

Согласен.

[Otta]

alisa-lebovski в сообщении #1478556 писал(а):

Я бы предложила придерживаться официально используемых в этой науке обозначений (см. выше ссылку на энциклопедию), согласно которым в $P_n(.)$ подставляется утверждение о числах $m\le n$ - и это утверждение я ранее обозначила $A(m,n)$.

Не все имеют под рукой нужный набор энциклопедий. Раз начались отсылки к традициям, то проще было так и сказать, что так принято.
Я посмотрела (что под руку попалось): там обозначение вида $P_n\{m\in E\}$. Честно говоря, я не вижу разницы с $P_n(E)$ (мера она и есть мера. Мера не для утверждений, она для множеств), мне эта запись кажется более прозрачной. Но раз традиции, то конечно.

Обозначение $P_n\{m\in E\}$ было бы востребованным, если бы понадобилось считать что-то вроде при $m=n/2 \ P_n\{m\in E\}= \ldots$, но насколько я помню, в этом смысле такое обозначение не используется.

Впрочем, не претендую на истину. Просто заинтересовало.

[vicvolf]

alisa-lebovski

До разговора об обозначениях я разместил сообщении #1478458". Ваше мнение?

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1478630 писал(а):

До разговора об обозначениях я разместил сообщении #1478458
". Ваше мнение?

Там речь шла конкретно о теореме Харди-Рамануджана и обозначениях в Википедии. В общем случае, конечно, может сходиться к чему угодно от 0 до 1 или вообще не сходиться.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478644 писал(а):

В общем случае, конечно, может сходиться к чему угодно от 0 до 1 или вообще не сходиться.

В общем случае, если сходится, то:

$$P_n(A(m,n)) \to C, n \to \infty,$$

где $A(m,n)$ - некоторое утверждение об арифметической функции $f(m),m=1,...,n$.

Следовательно, сходится по распределению к вырожденной случайной величине $C (0 \leq C \leq 1)$.

Ранее мы рассмотрели примеры некоторых таких утверждений, в том числе аналог закона больших чисел:

$$P_n(|f(m)-A_n| \leq b(n)\sigma_n) \to 1, n \to \infty,$$

где $A_n,\sigma_n$ соответственно среднее значение и среднее квадратичное отклонение арифметической функции $f(m),m=1,...,n$, а $b(n)$ неограниченно возрастающая функция при $n \to \infty$.

Теперь рассмотрим другой пример утверждения - аналог неравенства Чебышева:

$$P_n(|f(m)-A_n| \leq b\sigma_n) \to C, n \to \infty,$$

где $C \geq 1 -1/b^2$.

Если в аналоге неравенства Чебышева заменить постоянную $b$ на неограниченно возрастающую функцию $b(n), n \to \infty$, то получим аналог закона больших чисел.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1478756 писал(а):

сходится по распределению к вырожденной случайной величине $C (0 \leq C \leq 1)$.

Не совсем так. $C$ - это не случайная величина, а предельная вероятность. Она может соответствовать какой-то вырожденной случайной величине, если 0 или 1. Посмотрите, например, теорему Эрдеша-Каца, там сходимость по распределению к стандартной нормальной величине, а не вырожденной. Кроме того, предела может не существовать. Из неравенства Чебышева следует оценка нижнего предела (если используется неравенство снизу).

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478765 писал(а):

Она может соответствовать какой-то вырожденной случайной величине, если 0 или 1.

По-моему вырожденная случайная величина может быть не только 0 или 1. Например, $P(m=q) \to 6/\pi^2, n \to \infty$, где $q$ - натуральное число свободное от квадратов.

alisa-lebovski в сообщении #1478765 писал(а):

Кроме того, предела может не существовать.

Я написал, если есть сходимость.

alisa-lebovski в сообщении #1478765 писал(а):

Посмотрите, например, теорему Эрдеша-Каца, там сходимость по распределению к стандартной нормальной величине, а не вырожденной.

Утверждение о сходимости по распределению к невырожденной случайной величине я хотел рассмотреть отдельно.

Кстати из аналога неравенства Чебышева (в данном случае оценка вероятности сверху) можно получить другую форму теоремы Харди-Рамануждана:

RIP в сообщении #1256452 писал(а):

$$\mathbb{P}_{n}\left\{\left\lvert\xi_{n}-\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert\geqslant c\right\}\leqslant\frac{\mathbb{D}\xi_{n}}{c^2}\implies\left\lvert\left\{k\leqslant n:\bigl\lvert\omega(k)-\ln\ln n\bigr\rvert\geqslant\sqrt{a(n)\ln\ln n}\right\}\right\rvert=O\left(\frac{n}{a(n)}\right).$$

alisa-lebovski в сообщении #1478765 писал(а):

Из неравенства Чебышева следует оценка нижнего предела (если используется неравенство снизу).

Я использовал другую форму неравенства Чебышева, чтобы из него можно было получить аналог закона больших чисел.

[alisa-lebovski]

vicvolf в сообщении #1478864 писал(а):

По-моему вырожденная случайная величина может быть не только 0 или 1. Например, $P(m=q) \to 6/\pi^2, n \to \infty$, где $q$ - натуральное число свободное от квадратов.

Если рассматривать индикаторы свободы от квадратов как случайные величины, то они сходятся по распределению к невырожденной случайной величине, равной 1 с вероятностью $6/\pi^2$, и 0 с вероятностью $1-6/\pi^2$. А вырожденной случайной величиной называется величина, которая принимает только одно значение, с вероятностью 1, т.е. фактически константа.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1478765 писал(а):

$C$ - это не случайная величина, а предельная вероятность.

Согласен, Мы ищем предельную вероятность, в смысле предел вероятности, если он существует. С другой стороны, это асимптотическая плотность некоторого подмножества натурального ряда. Поэтому это просто постоянная величина от 0 до 1. А случайная величина тут не причем (вырожденная или невырожденная) и нет сходимости случайных величин. Например, предел вероятности $P(m=q) \to 6/\pi^2, n \to \infty$, где $q$ - натуральное число свободное от квадратов, о котором я писал ранее.

Цитата:

Посмотрите, например, теорему Эрдеша-Каца, там сходимость по распределению к стандартной нормальной величине, а не вырожденной.

Да, сходимость по распределению, совсем другое.

[vicvolf]

Действительно в книге Постникова "Вероятностная теория чисел" на стр. 21 вводится точно такая величина, как асимптотическая плотность подмножества натуральных чисел. В наших обозначениях она выглядит так:

$$\lim_{n \to \infty} {\frac{\#\{m: m \leq n, m \in A(m,n)\}}{n}}.$$

Далее пишется, что этот предел не всегда существует, т.е. не всякое подмножество натурального ряда обладает асимптотической плотностью. Асимптотическая плотность обладает свойством конечной аддитивности, однако, она не обладает свойством счетной аддитивности, т.е. не является вероятностной мерой. Я в свое время тоже пришел к этому для последовательностей, т.е. действительных арифметических функций сообщении #796133.

[alisa-lebovski]

Асимптотическая плотность соответствует предельной вероятности. Если брать индикаторы принадлежности к некоторому множеству на отрезках $[1,n]$, то при $n\to\infty$ они сходятся по распределению к случайной величине, равной 1 с вероятностью, равной асимптотической плотности множества (если она существует) и 0 иначе.

[vicvolf]

alisa-lebovski в сообщении #1479134 писал(а):

с вероятностью, равной асимптотической плотности множества (если она существует) и 0 иначе.

Асимптотическая плотность не является вероятностью.

[vicvolf]

alisa-lebovski
С асимптотической плотностью последовательности (действительной арифметической функции) все ясно. Но как тогда понимается в вероятностной теории чисел аналоги неравенства Чебышева и Закона больших чисел? И почему Кубилюс их называет аналогами? На стр. 13 своей монографии он дает ответ на этот вопрос - в смысле "почти всех значений". С другой стороны, такая сходимость возможна только для последовательности случайных величин, определенных на одном и том же вероятностном пространстве, что в данном случае не выполняется. Просто делается такое допущение? Отсюда наверно слово "аналог". Ваше мнение? Кстати, что об этом говорится в энциклопедии "Вероятность и математическая статистика" (1999), статье "Вероятностная теория чисел"?