Функциональные уравнения

[Евгений Машеров]

0. У Вас не совсем удачно сделано цитирование, Ваши слова следует писать вне цитаты. Я сперва не понял, зачем Вы повторили мои слова, ничего не прибавив. И лишь затем понял, что далее следует вопрос.
1.

(Оффтоп)

Поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты к-на Очевидность

Потому, что у него нет двух разных функций. Он говорит об одной и той же функции $f(x)$, меняя лишь аргументы. А у Вас две разные.

[kotenok gav]

Solaris86 в сообщении #1478323 писал(а):

Я так обозначил, чтобы не было путаницы $f(x)$ при $x = 1$ и $f(y)$ при $y = 1$, так как они обе буду выглядеть как $f(1)$.

До вас начало что-то доходить... Подумайте.

[Solaris86]

kotenok gav в сообщении #1478322 писал(а):

Чё-т мне вспоминается анекдот "обозначим две разные величины одной буквой"... Это я к чему клоню. Вы понимаете, что одной буквой обозначаются одни и те же функции?

Solaris86 в сообщении #1478320 писал(а):

Однако я просто повторил обозначение, которое используется в учебнике Фихтенгольца. Почему тогда он использует одинаковые буквы и при этом не возникает неясности?
Или одинаковые буквы можно использовать, только если $f_1(x+y) = f_2(x+y)$ и тогда обозначить обе просто через $f(x+y)$?

[kotenok gav]

Solaris86 в сообщении #1478326 писал(а):

Почему тогда он использует одинаковые буквы и при этом не возникает неясности?

Так он не обозначает одинаковыми буквами разные функции, видимо.

[nnosipov]

Solaris86
Читайте школьный учебник, например "Алгебра и начала анализа" (под ред. Колмогорова, М., 1982). Пункт 9 "Числовые функции". И обязательно нужно прорешать упражнения в конце. Это для того, чтобы не изобретать странных записей типа

Solaris86 в сообщении #1478323 писал(а):

Могу так написать: $f(x)_{x=1} = 4$ и $f(y)_{y=1} = 2$

[alisa-lebovski]

Функция - грубо говоря, это то, что делается с подставленным в нее аргументом. Например, если $f(x)=x^2$, то $f(y)=y^2$, $f(x+y)=(x+y)^2$ и т.п.

[Евгений Машеров]

Solaris86 в сообщении #1478323 писал(а):

Я так обозначил, чтобы не было путаницы $f(x)$ при $x = 1$ и $f(y)$ при $y = 1$, так как они обе буду выглядеть как $f(1)$.

$f(x)$ при $x=1$ и $f(y)$ при $y=1$ это одна и та же функция. Обозначение аргумента не меняет ничего

(Оффтоп)

по буквам: Николая, Иван, Харитон, Ульяна, Яков - ничего.

Название аргумента несущественно, как бы он ни назывался, важно лишь его значение. И для одного и того же значения аргумента значение функции должно быть одинаково.

Solaris86 в сообщении #1478323 писал(а):

Что плохо? Говорите конкретнее и по существу. Я выше написал, для чего ввёл в этой ситуации такие неправильные обозначения.
Могу так написать: $f(x)_{x=1} = 4$ и $f(y)_{y=1} = 2$

Ну, если Вы уже поняли, что Ваши обозначения неправильны, то Вы уже полдороги прошли. Остаётся понять, что именно в них неправильно. А неправильно Ваше непонимание того, что аргумент функции принимает какое-то значение, и лишь это значение важно. Название существенно лишь постольку, поскольку переменная с таким именем используется в теле функции, принимая значение, переданное через список аргументов (о, уже в программирование полезли - но разница между функциями, как математическим объектом, и как элементом языка программирования, не то, чтобы не существует, но на таком уровне понимания их можно считать за одно и то же).
Одна и та же функция при одних и тех же значениях аргументов должна выдавать один и тот же результат. Даже если при вызове функции в одном месте используется переменная x, которой придано значение 1, а в другом переменная y, которой придано значение 1, возвращать функция должна одно и то же. Изнутри функции, по крайней мере математической, не видно, как выглядят аргументы, видно лишь их значение.

[Solaris86]

Евгений Машеров в сообщении #1478324 писал(а):

Потому, что у него нет двух разных функций. Он говорит об одной и той же функции $f(x)$, меняя лишь аргументы. А у Вас две разные.

kotenok gav в сообщении #1478327 писал(а):

Так он не обозначает одинаковыми буквами разные функции, видимо.

А как я должен об этом догадаться, если Фихтенгольц никаких пояснений не даёт по поводу того, зачем вообще, если функция одна и та же, меняет аргумент?
Получается, что есть 2 множества: $X = \lbrace{x\rbrace}$ и $Y = \lbrace{y\rbrace}$. Что тогда он хочет сказать, заменяя аргумент $x$ на $y$, сохраняя при этом правило отображения множества значений аргумента в множество значений функции?

-- 11.08.2020, 11:09 --

nnosipov в сообщении #1478328 писал(а):

Читайте школьный учебник, например "Алгебра и начала анализа" (под ред. Колмогорова, М., 1982). Пункт 9 "Числовые функции". И обязательно нужно прорешать упражнения в конце. Это для того, чтобы не изобретать странных записей типа

Послушайте, я в курсе, что разные функции обозначают разными буквами или одной буквой с разными индексами. Меня с бил с толку фрагмент из книги Фихтенгольца, который я неверно понял, потому Фихтенгольц не любит много пояснений давать в тексте, подразумевая, что читатель сам догадается, что он имеет в виду. Если бы Фихтенгольц сначала объяснил, что он вообще делает, что функция-то одна, а вот аргументы он меняет с такой-то целью, этого непонимания с моей стороны не возникло бы.

[kotenok gav]

Solaris86 в сообщении #1478331 писал(а):

Получается, что есть 2 множества: $X = \lbrace{x\rbrace}$ и $Y = \lbrace{y\rbrace}$.

[Solaris86]

kotenok gav в сообщении #1478333 писал(а):

:facepalm:

Не верно?
Хорошо. Пусть есть множество значений аргумента $A$ и есть множество значений функции $F$.
Запись $f(x)$ означает: $x \in A$, $f(x) \in F$.
Запись $f(y)$ означает: $y \in A$, $f(y) \in F$.
Так лучше?

[kotenok gav]

Нет.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1478306 писал(а):

пусть есть функции $f(x) = 3x$ и $f(y) = 3y$

Это не две функции, это одна и та же функция $f$.
Это функция, умножающая свой аргумент на $3$.
Если мы подставляем в эту функцию $x$, она умножает его на $3$ и получается $f(x)=3x$.
Если мы подставляем в эту функцию $y$, она умножает его на $3$ и получается $f(y)=3y$.
Если мы подставляем в эту функцию число $2$, она умножает его на $3$ и получается $f(2)=6$.

Чтобы не говорить словами: $f$ - функция, умножающая свой аргумент на $3$, этот "свой аргумент" обозначают какой-нибудь буквой, например $x$, и пишут: функция $f$ определена формулой $f(x)=3x$.
Но точно так же можно сказать: функция $f$ определена формулой $f(y)=3y$.
Между этими двумя предложениями нет никакой разницы; неважно, какой буквой обозначать аргумент функции.

Solaris86 в сообщении #1478306 писал(а):

пусть есть функции $f(x) = 4x$ и $f(y) = 2y$

Так нельзя говорить. Функция - это не $f(x)$ и не $f(y)$; функция - это $f$.
Если Вы определяете функцию $f$ формулой $f(x)=4x$, то вместо $x$ сюда можно подставлять всё что угодно, в том числе можно вместо $x$ подставить $y$, и тогда автоматически будет $f(y)=4y$. А не $f(y)=2y$, как Вы написали.

Заметьте! Для какой-нибудь функции $f$ и каких-нибудь чисел $x,y$ вполне может оказаться так, что $f(x)=4x$, но $f(y)=2y$. Например если взять функцию $f(x)=x^2$, и взять числа $x=4,\,y=2$. Тогда будем иметь
$f(x)=f(4)=4^2=16=4\cdot 4=4x,\,f(y)=f(2)=2^2=4=2\cdot 2=2y$.
То есть в принципе, утверждения $f(x)=4x$ и $f(y)=2y$ друг другу не противоречат.

Дьявол кроется в деталях: не в формулах, а в словах, которые сказаны вокруг этих формул.
Если сказано: "для каких-то значений $x,y$ справедливо $f(x)=4x$ и $f(y)=2y$" - то тут нет никакого противоречия, см. пример в предыдущем абзаце.
А если сказано "функция $f$ определена формулой $f(x)=4x$" (подразумевается, что формула справедлива для всех $x$, а не только для какого-то конкретного), то эта функция никак не может быть вместе с этим определена формулой $f(y)=2y$. Здесь уже будет противоречие.

Когда в учебниках говорят "рассмотрим функцию $f(x)=4x$" (или вместо $4x$ любая другая формула), имеют в виду, что эта формула должна быть справедлива при любых $x$, а не только при каком-то конкретном. И это надо хорошо понимать и иметь в виду.

[Евгений Машеров]

Solaris86 в сообщении #1478331 писал(а):

А как я должен об этом догадаться, если Фихтенгольц никаких пояснений не даёт по поводу того, зачем вообще, если функция одна и та же, меняет аргумент?

Ну, наверно, он исходит из предположения, что читатель имеет как минимум неполное среднее образование и учебник по алгебре за 6 класс (или какой теперь начинает алгебру изучать?) прочёл. И знает, как функции обозначаются и зачем. А также, что читатель, помимо неполного среднего образования, имеет вполне среднее соображение, и догадывается, что одинаковыми обозначениями обыкновенно обозначаются одинаковые вещи. И что, если бы Фихтенгольцу понадобилось вводить разные функции, они бы различно обозначались. Конечно, переписать кусок учебника 6 класса Фихтенгольц мог бы, но не уверен, что тогда бы его учебник издали - он был бы, со всеми подобными вставками, толщиной с ПСС В.И.Ленина, вкупе со всеми тремя изданиями БСЭ.

[Solaris86]

kotenok gav в сообщении #1478335 писал(а):

Нет.

Сначала я написал, что $x$ и $y$ из разных множеств, вы ответили фейспалмом (я понял, что неверно написал), далее я написал, что $x$ и $y$ из одного множества, вам тоже не нравится. Ну напишите тогда сами, как правильно.

[kotenok gav]

У нас нет никаких множеств (ну, за исключением $R$).