Значение импликации

[Twolka]

Пусть есть два выражения:
$A =$ "Если выполняется 1=1, то выполняется и 2=2"
$B =$ "1=1 не выполняется, или 2=2 выполняется"
Верно ли, что они эквивалентны?

Записав их на языке мат. логики я получил:
$A = (1=1) \to (2=2) = 1 \to 1 = 1$
$B = \overline{(1=1)} \vee (2=2) = 1 \vee 1 = 1$

Также я знаю и о том, что существует теорема/аксиома о том, что $A \to B \equiv \neg A \vee B$.
Но если бы меня спросили, истинно ли выражение $A$, то я бы сказал "Нет", а выражение $B$ было бы истинно. Как так?
Этот вопрос у меня возник при обсуждении topic142065.html

[kotenok gav]

Twolka в сообщении #1477891 писал(а):

Но если бы меня спросили, истинно ли выражение $A$, то я бы сказал "Нет"

Оно истинно (даже на уровне интуиции).

[Twolka]

Почему? Из первого никак не следует второе

[kernel1983]

Twolka в сообщении #1477891 писал(а):

Пусть есть два выражения:

А что такое выражение? Может, речь идёт о высказываниях?

Twolka в сообщении #1477891 писал(а):

Верно ли, что они эквивалентны?

Что такое эквивалентность выражений? Или эквивалентность высказываний? Если говорить об эквивалентности (равносильности) формул,то формулы, которые формализуют данные высказывания, эквивалентны. А что касается эквивалентности высказываний, так все истинные высказывания эквивалентны (как и ложные).

[Twolka]

kernel1983 в сообщении #1477902 писал(а):

А что такое выражение? Может, речь идёт о высказываниях?

Да

kernel1983 в сообщении #1477902 писал(а):

А что касается эквивалентности высказываний, так все истинные высказывания эквивалентны (как и ложные).

Ну вот как раз и имеются два высказывания. Оба истинные. Но я не понимаю "интуитивно" почему первое истинное.

[mihaild]

Twolka в сообщении #1477906 писал(а):

Но я не понимаю "интуитивно" почему первое истинное

Скорее всего потому, что вы интуитивно понимаете логическое следование ("если... то") как какую-то "смысловую" связь между высказываниями. Но эта связка просто означает, что не бывает так, что посылка выполнена, а заключение нет. Поскольку в данном случае заключение тождественно истинно, то вся импликация тоже истинна.

(Оффтоп)

Twolka в сообщении #1477891 писал(а):

если бы меня спросили, истинно ли выражение $A$, то я бы сказал "Нет", а выражение $B$ было бы истинно. Как так?

Ну это уж вам виднее - почему вы бы ответили неправильно:)

[Dan B-Yallay]

Twolka в сообщении #1477891 писал(а):

Но если бы меня спросили, истинно ли выражение $A$, то я бы сказал "Нет", а выражение $B$ было бы истинно. Как так?

$\alpha =$ "пить из копытца"
$\beta =$ "стать козлёнком"

$A = \alpha \to \beta$: "выпьешь из копытца - станешь козлёнком"

$B = \neg \alpha \vee \beta$: "не пей из копытца или станешь козлом"

[bot]

(Оффтоп)

Явно разные высказывания. Одно дело козлёночек и совсем другое - козёл.

[eugensk]

(Оффтоп)

bot
Просто опечатка, $\v{x}$ вместо $x$.

[kotenok gav]

Twolka, мне кажется, что вы понимаете импликацию как то, что можно доказать. Это совершенно не так. Доказательствами формул (опирающихся на правила вывода) занимается исчисление высказываний. Но на самом деле ваша импликация также может быть доказана с помощью исчисления высказываний.

[ipgmvq]

Twolka
Это потому, что математика (математическая логика) в импликации не ставит перед собой задачу убедиться, что существует причинно-следственная связь. Математику такая метафизическая связь не интересует.
Для импликации важно только её определение и соответствие её общего выражения (не частного случая) таблице истинности для импликации. Если таблицы истинности у двух выражений (не их частных случаев) совпадают, значит выражения эквивалентны, потому что эквивалентность — это по определению двунаправленная импликация.

Twolka в сообщении #1477891 писал(а):

Верно ли, что они эквивалентны?

Мы можем тут говорить о том, что оба частных случая истинны. Но мне кажется неверно говорить об эквивалентности двух частных случаев логических выражений, когда не допускается, что A и B могут быть ложными. Т.е. мы можем сказать, что выражение, где есть два истинных аргумента и они связаны импликацией, истинно (по определению импликации). Но на этом всё.
Эти два частных выражения (при допущении, что A и B истинны по определению) оба истинны, но не обязаны быть эквивалентными. Например, уберите логическое отрицание в B, и оба частных случая выражения A и B останутся истинными, но общие их формы потеряют эквивалентность, потому что их таблицы истинности станут разными.

Советую небольшую вводную книжку как раз на эту тему, написанную для перехода со школьного курса математики на институтский курс по специальности математика.

[Twolka]

mihaild в сообщении #1477908 писал(а):

Скорее всего потому, что вы интуитивно понимаете логическое следование ("если... то") как какую-то "смысловую" связь между высказываниями. Но эта связка просто означает, что не бывает так, что посылка выполнена, а заключение нет. Поскольку в данном случае заключение тождественно истинно, то вся импликация тоже истинна.

Ладно, пусть у нас есть высказывание "Если $A$, то $B$". В случае, когда $A$ истинно, а $B$ ложно, мы точно знаем, что $A$ не приводит к $B$, высказывание опровергнуто, ставим 0. Но в других случаях мы не можем утверждать, что $A$ приводит к $B$, хотя и ставим $1$.

Ровно такой же случай и здесь:

Dan B-Yallay в сообщении #1477910 писал(а):

$\alpha =$ "пить из копытца"
$\beta =$ "стать козлёнком"

$A = \alpha \to \beta$: "выпьешь из копытца - станешь козлёнком"

$B = \neg \alpha \vee \beta$: "не пей из копытца или станешь козлом"

kotenok gav в сообщении #1477928 писал(а):

Twolka, мне кажется, что вы понимаете импликацию как то, что можно доказать. Это совершенно не так. Доказательствами формул (опирающихся на правила вывода) занимается исчисление высказываний. Но на самом деле ваша импликация также может быть доказана с помощью исчисления высказываний.

ipgmvq в сообщении #1477929 писал(а):

Twolka
Это потому, что математика (математическая логика) в импликации не ставит перед собой задачу убедиться, что существует причинно-следственная связь. Математику такая метафизическая связь не интересует.
Для импликации важно только её определение и соответствие её общего выражения (не частного случая) таблице истинности для импликации. Если таблицы истинности у двух выражений (не их частных случаев) совпадают, значит выражения эквивалентны, потому что эквивалентность — это по определению двунаправленная импликация.

Просто я говорю о том, что принятое определение импликации не подходит для формализации высказывания "Если $A$, то $B$"

(Оффтоп)

Простите за задержку

[kotenok gav]

Twolka в сообщении #1478149 писал(а):

формализации высказывания "Если $A$, то $B$"

Я вообще считаю формализацию естественных языков плохой затеей. Не нужно это, слишком сильно отличаются они от математического.

[epros]

Twolka в сообщении #1478149 писал(а):

Но в других случаях мы не можем утверждать, что $A$ приводит к $B$, хотя и ставим $1$.

В большинстве логик (не только в классической) есть аксиома $a \to (b \to a)$, которая "на человеческом языке" звучит как: "Верное утверждение ($a$) можно считать следующим из какого угодно утверждения ($b$)". Похоже, что у Вас вызывает неприятие именно она. Тогда Вам прямая дорога в сторону "релевантных" логик, которые обзывают эту аксиому "парадоксом". Вот только эта дорога окажется не такой уж прямой, ибо релевантные логики в своих попытках дать альтернативное определение импликации больших успехов (с моей точки зрения) так и не достигли.

[Twolka]

epros в сообщении #1478202 писал(а):

В большинстве логик (не только в классической) есть аксиома $a \to (b \to a)$, которая "на человеческом языке" звучит как: "Верное утверждение ($a$) можно считать следующим из какого угодно утверждения ($b$)". Похоже, что у Вас вызывает неприятие именно она.

Да, думаю вы правы. Пойду читать про неклассические логики. Всем спасибо.