Импликация + кванторы

[Twolka]

Здравствуйте, прошу простить, если мой вопрос покажется глупым.
Что означает данное выражение и является ли оно истинным/ложным?

"Существует вещественное число $x$, такое что выполняется: если $x<5$, то $x<3$."
На языке дискретной математики его можно записать так: $\exists x (x < 5 \to x < 3)$.

(Оффтоп)

Не совсем понятно, почему такую запись mihaild и Pphantom не хотят признавать: $\exists(x\in\mathbb{R}) (x < 5 \to x < 3)$

Как я понимаю, из-за того, что квантор существования является обобщением дизъюнкции, то я могу рассмотреть это выражение на 3-х областях:
1) при $x \in (-\infty, 3) $ $1 \to 1 = 1 $
2) при $x \in [3, 5) $ $ 1 \to 0 = 0 $
3) при $x \in [5, +\infty) $ $ 0\to 0 = 1 $
Далее я объединяю их с помощью дизъюнкции $1\vee0\vee1 = 1$

[mihaild]

Ничего не означает, под квантором должна стоять переменная, а не формула.

[Twolka]

Хорошо, как я должен записать выражение: "Существует вещественное число $x$, такое что выполняется: если $x<5$, то $x<3$"?

(Оффтоп)

Это старое сообщение и теперь не имеет смысла, не знаю, как его удалить

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

(Twolka)

Twolka в сообщении #1477735 писал(а):

На языке дискретной математики

Нет такого языка. В принципе, всякие формальные языки в математике — это расширения языка математической логики (если не вдаваться в детали).
То, что называется "дискретной математикой", не является математической теорией и своего специального языка не имеет. Фактически это достаточно случайное собрание различных математических теорий, объединённых в одном курсе лекций.

[Dan B-Yallay]

Twolka в сообщении #1477735 писал(а):

Как я понимаю, из-за того, что квантор существования является обобщением дизъюнкции,

Откуда и как давно у Вас это понимание?

[Twolka]

Someone, Хорошо, должно быть "на языке математической логики первого порядка".

Dan B-Yallay, Я имел в виду, что выражение с квантором существования представимо в виде дизъюнкции.
Например, пусть $x \in \lbrace1,2\rbrace$, а $P(x)$ - какой-либо предикат, тогда выражение $\exists x P(x)$ представимо, как $\exists y P(y) \vee \exists z P(z)$, где $y \in \lbrace1\rbrace$ а $z \in \lbrace2\rbrace$, что в свою очередь является $P(1) \vee P(2)$.
Точно так же возможно разбить $\mathbb{R}$ на несколько областей.

[eugensk]

Twolka
Разве вопрос был в том, в каких областях условие выполняется? Так и с нерешенными математическими проблемами можно столкнуться.
(Не в этом случае, но если каждый раз существование будете доказывать подобным образом, то наверняка.)

Если такое число существует, решением было бы предъявить какое-нибудь одно, и проверить условие. Всё.

[Twolka]

Ну хорошо, возьмём число $0$. $(0 < 5 \to 0 < 3) = 1 \to 1 = 1$. Значит, мы выяснили, что $\exists x (x < 5 \to x < 3) = 1$. А как его выражение $\exists x (x < 5 \to x < 3)$ нормально записать на естественном языке?

[mihaild]

Twolka в сообщении #1477864 писал(а):

А как его нормально записать на естественном языке?

Кого "его"? Число $0$? Что вообще такое "записать число на естественном языке"?

Twolka в сообщении #1477864 писал(а):

$\exists x (x < 5 \to x < 3) = 1$.

? А что это вообще такое? Это не формула, тут слева от знака равенства стоит не терм.
Формулу $\exists x(x < 5 \rightarrow x < 3)$? Так и записать: "существует число, такое что если оно меньше $5$, то оно меньше $3$".

[Twolka]

Нет. Выражение, которое вы упомянули будет записываться так: $\exists x (x < 5 \wedge x < 3)$.

(Оффтоп)

И чем "выражение слева" не терм

[eugensk]

На естественном языке длинно. Нормально записать нужно с формулами.

Формула это или имя чего-то или высказывание. Имя называет предмет, высказывание имеет значение истина или ложь. Формулы как имена пишете там где поставили бы существительное с согласованием окончаний:

существует такой $x$, существуют такие $x,y$

формулы как высказывания пишете там, где поставили бы придаточное или самостоятельное предложение, с соответсвующими знаками препинания:

отсюда следует, что $x>0$.


Вот это ерунда какая-то: $\exists x (x < 5 \to x < 3) = 1$, а не высказывание.
Высказыванием будет $\exists x (x < 5 \to x < 3)$, высказываеним будет $x=1$. Как получить из них осмысленный текст?

Кучей способов

$\exists x (x < 5 \to x < 3)$, например, $x=1$.

или

$\exists x (x < 5 \to x < 3)$, в качестве такого $x$ возьмём $x=1$. ('x, равный 1' - имя с определением)

или

При $x=1$ $x < 5 \to x < 3$, следовательно, $\exists x (x < 5 \to x < 3)$.

и т.д.

[mihaild]

Twolka в сообщении #1477869 писал(а):

Выражение, которое вы упомянули будет записываться так: $\exists x (x < 5 \wedge x < 3)$.

Нет. Это выражение записывалось бы на естественном языке как "существует число, такое что оно меньше $5$ и оно меньше $3$". Этот перевод - тоже довольно алгоритмический. А зачем он вам вообще нужен?

Twolka в сообщении #1477869 писал(а):

И чем "выражение слева" не терм

Записью и смыслом. Записью: в терм не могут входить предикатные символы и кванторы. Смыслом: терм - выражение, "задающее значение" в нашей модели (в данном случае - в вещественных числах). А у вас слева - не вещественное число, а "утверждение" о вещественных числах (формула).

[Twolka]

mihaild, а я и не говорил, что $\exists x (x < 5 \to x < 3) = 1$ высказывание, я просто отметил, что $\exists x (x < 5 \to x < 3)$ - тождество. Может, правильнее было записать $\exists x (x < 5 \to x < 3) \equiv 1$?

mihaild в сообщении #1477873 писал(а):

Нет. Это выражение записывалось бы на естественном языке как "существует число, такое что оно меньше $5$ и оно меньше $3$"

А как вы тогда объясните, что:
"Все люди греки греки люди" записывается, как $\forall x P(x) \to Q(x)$
А "Есть люди, являющиеся греками" - $\exists x P(x) \wedge Q(x)$
Где $P(x)$ = "x - человек", $Q(x)$ = "x - грек"

mihaild в сообщении #1477873 писал(а):

Записью и смыслом. Записью: в терм не могут входить предикатные символы и кванторы. Смыслом: терм - выражение, "задающее значение" в нашей модели (в данном случае - в вещественных числах). А у вас слева - не вещественное число, а "утверждение" о вещественных числах (формула).

Здесь вы правы.

mihaild в сообщении #1477873 писал(а):

А зачем он вам вообще нужен?

Да интересно просто.

eugensk, честно говоря, не совсем понял вас

eugensk в сообщении #1477871 писал(а):

Высказыванием будет $\exists x (x < 5 \to x < 3)$, высказываеним будет $x=1$. Как получить из них осмысленный текст?

Кучей способов

$\exists x (x < 5 \to x < 3)$, например, $x=1$.

или

$\exists x (x < 5 \to x < 3)$, в качестве такого $x$ возьмём $x=1$. ('x, равный 1' - имя с определением)

или

При $x=1$ $x < 5 \to x < 3$, следовательно, $\exists x (x < 5 \to x < 3)$.

и т.д.