ЭМ маятник

[Ignatovich]

svv в сообщении #1477851 писал(а):

Да, Вы правы, это слагаемое я прохлопал.

….и я тоже. Мой ответ совпадает с вашим, да и решение тоже. И они, как оказалось, справедливы только при выполнении определенного неравенства, определяющего малость второй пространственной производной магнитного потока.
Добавлю, что в формулировке исходной задачи davlato следовало бы оговорить специальные условия: отсутствие стационарного тока в сверхпроводящем контуре. И спасибо davlato за интересную задачу.

[svv]

dovlato, Ignatovich
По-моему, мы неправильно находим силу, действующую на сверхпроводящий контур в неоднородном магнитном поле. Сразу оговорюсь, что до конца не разобрался и не на все вопросы могу ответить.

Я начал с вычисления энергии магнитного поля, в духе
$W=\frac 1 2(L_{11}I_1^2+L_{12}I_1I_2+L_{21}I_2I_1+L_{22}I_2^2)$.
Индекс $1$ соответствует сверхпроводящему контуру, а индекс $2$ — гипотетическому контуру с заданным током, который создаёт внешнее неоднородное поле задачи. Последнее слагаемое постоянно и не вносит вклад в силу, выбросим его. Второе и третье слагаемые равны. Остаётся
$W=\frac 1 2 L_{11}I_1^2+L_{12}I_1I_2$
Мы не знаем ни $L_{12}$, ни $I_2$, и вообще, существует ли тот второй контур, или это некое вселенское внешнее магнитное поле. К счастью, $L_{12}I_2=\Phi_{12}$ — потоку через первый контур магнитного поля, создаваемого током во втором контуре.

Возвращаемся к обозначениям, принятым в этой теме:
$W=\frac 1 2 LI^2+I\Phi$
Если бы ток $I$ в контуре был фиксирован, мы получили бы для силы выражение $F=-I\Phi'$, которым пользовались до сих пор. Но $I$ зависит от $z$! При движении контура изменяется и первое слагаемое (не говоря о том, что и производная от второго будет уже $I'\Phi+I\Phi'$). А это приведёт к дополнительной силе.

Пользуясь постоянством потока $LI+\Phi=\Phi_0=\operatorname{const}$, я попытался показать, что дополнительные слагаемые дают в сумме константу. Не дают и не должны давать.

[AnatolyBa]

svv
Если мы предполагаем наличие второго контура с постоянным током, который создает поле, то кто-то же должен этот ток поддерживать.
Т. е. какая-то внешняя ЭДС, совершающая работу. Т. е. для вычисления силы нельзя просто дифференцировать по координате энергию, которую вы записали.
С другой стороны, выражение для силы которым вы пользовались можно получить проинтегрировав силу Ампера по контуру. Мне казалось, вы так и сделали.
(я не проверял на бумажке, но вроде все получается правильно).
Т. е. я не вижу пока оснований для сомнений.

[svv]

AnatolyBa, спасибо.

AnatolyBa в сообщении #1477975 писал(а):

выражение для силы которым вы пользовались можно получить проинтегрировав силу Ампера по контуру. Мне казалось, вы так и сделали.

Да, именно так и находил. Рассматривал цилиндр (прямой, но необязательно круговой), натянутый на контур в двух его разных положениях $z_0$ и $z$. Сумма потоков магнитного поля через основания цилиндра и его боковую поверхность равна нулю. Дифференцируя по $z$, получим связь между $\frac{d\Phi}{dz}$ и интегралом по контуру, который с точностью до множителя равен силе Ампера. Красиво получилось. Подробно я это здесь не расписывал.

[dovlato]

svv: а жаль, я бы посмотрел. Почему-то кажется, что тема не исчерпана.
Я написал функцию Лагранжа

$$L_a=\mu\frac{\dot x^2}2-\frac{\Phi(x)^2}{2L}, \quad\Phi(0)=0$$

Здесь $\mu$ - скаляр, зависящий от конкретного условия; в данной задаче это масса: $\mu=m$.
Отсюда с точностью до 1-го порядка получаем колебательное ДУ

$$\ddot x+\omega_0^2x\sim0,\quad \omega_0^2=\frac1{\mu L}\left(\frac{d\Phi}{dx}\right)^2$$

[Ignatovich]

dovlato в сообщении #1478534 писал(а):

Я написал функцию Лагранжа

$$L_a=\mu\frac{\dot x^2}2-\frac{\Phi(x)^2}{2L}, \quad\Phi(0)=0$$

А как можно обосновать второе слагаемое в функции Лагранжа?

[svv]

dovlato
Я рассматривал случай, когда контур — плоский замкнутый без самопересечений, но не обязательно окружность. Удобно представлять, что контур перемещается вдоль вертикальной оси $Oz$. Стало быть, лежит в горизонтальной плоскости $z=\operatorname{const}$.

Рассмотрим цилиндр, натянутый на контур $C$ в двух его разных положениях $z_0$ и $z_1>z_0$. Поток магнитного поля через цилиндр равен нулю. Он состоит из потоков через основания и через боковую поверхность:
$\Phi(z_1)-\Phi(z_0)+\int\limits_{z_0}^{z_1} dz \oint\limits_C \mathbf n\cdot\mathbf B(z,\ell)\;d\ell = 0$
Тут $\ell$ — натуральный параметр вдоль контура, $\mathbf n$ — внешняя нормаль к боковой поверхности, перпендикулярная и контуру, и оси $Oz$. Дифференцируя по $z_1$, получим
$\Phi'(z)+\oint\limits_C \mathbf n\cdot\mathbf B(z,\ell)\;d\ell = 0$

Пусть $\mathbf e_z$ — единичный вектор вдоль оси $Oz$, а $\mathbf t$ — единичный вектор, касательный к контуру (указывающий направление обхода против часовой стрелки, если смотреть сверху). Тогда $\mathbf n=-\mathbf e_z\times\mathbf t$, и
$\Phi'(z)=\mathbf e_z\cdot\oint\limits_C \mathbf t\times\mathbf B\;d\ell = \mathbf e_z\cdot\oint\limits_C d\mathbf l\times\mathbf B$

Сравнивая с формулой для силы Ампера
$\mathbf F=I\oint\limits_C d\mathbf l\times\mathbf B\,,$
получаем $F_z=I\Phi'$.

[AnatolyBa]

Я действовал несколько более формально (хотя по сути это то же самое)
Сила Ампера
$\mathbf F=I\oint\limits_C d\mathbf l\times\mathbf B$
Проекция силы на направление единичного вектора $\mathbf n$:
$(\mathbf n \mathbf F)=I\oint\limits_C \mathbf n (d\mathbf l\times\mathbf B) = I\oint\limits_C d\mathbf l(\mathbf B\times\mathbf n) = I\int\limits_S \operatorname{rot}(\mathbf B\times\mathbf n) d\mathbf s = I\int\limits_S ((\mathbf n \mathbf \nabla)\mathbf B - \mathbf n \operatorname{div}\mathbf B)d\mathbf s=I\int\limits_S \dfrac{\partial\mathbf B}{\partial n}d\mathbf s$
Дифференцирование по направлению здесь можно вынести из-под интеграла
Получится $I\dfrac{\partial}{\partial n}(\int\limits_S \mathbf B d\mathbf s)$

[dovlato]

svv, спасибо, буду изучать.
По поводу обоснования второго слагаемого.. это допущена вольность, конечно.
В данном случае энергия магнитного поля есть функция только переменной $x$ и никак не связана с механической скоростью, то есть она неотличима от традиционной потенциальной энергии.
Попробую что-то получить без интегралов. Рассмотрим элемент произвольного проводящего контура $d\mathbf l$.
При движении контура данный элемент перемещается на $d\mathbf r$, в ходе которого заметаетается
площадь $d\mathbf S=d\mathbf l\times d\mathbf r$, а изменение потока поля

$$d\Phi=d\mathbf r\cdot[d\mathbf l,\mathbf B]$$

С другой стороны, работа внешних сил при этом будет равна

$$dA=I\cdot[d\mathbf l,\mathbf B]d\mathbf r=I\cdot d\Phi$$

Поскольку $\Phi=LI$, и поскольку работа dA равна приращению энергии магнитного поля W, имеем

$$dW=d\left(\frac{\Phi^2}{2L}\right)$$

и видно, что $W$ неотличима от потенциальной энергии.
В приведённых соотношениях элемент $d\mathbf l$ простоты ради остаётся неизменным. Лучше написать

$$dA=dW=Id\mathbf S\cdot\mathbf B$$

и тогда обретается общность: безразлично, как именно меняется положение и форма контура, а определяющим является только лишь поток поля сквозь него.

[svv]

dovlato в сообщении #1478534 писал(а):

Почему-то кажется, что тема не исчерпана.

Да, хотел сказать, у меня то же чувство. Жаль, сейчас времени у меня особо нет разобраться.

[Ignatovich]

dovlato в сообщении #1478749 писал(а):

Поскольку $\Phi=LI$, и поскольку работа dA равна приращению энергии магнитного поля W, имеем

Магнитный поток может быть отличен от нуля и при нулевом токе в контуре. Разве не так?

[dovlato]

Нет, здесь $\Phi$ собственный поток контура.
Сумму внешнего и собственного потоков полагаем постоянной.
Другое дело - здесь по умолчанию рассматриваются медленные движения,
для которых ЭДС самоиндукции пренебрежимо мала.
А вообще-то было бы интересно посмотреть и в общем случае.

[lel0lel]

Попробую развить сюжет начатый svv, а именно:

svv в сообщении #1477962 писал(а):

Я начал с вычисления энергии магнитного поля, в духе
$W=\frac 1 2(L_{11}I_1^2+L_{12}I_1I_2+L_{21}I_2I_1+L_{22}I_2^2)$.

Рассмотрим два сверхпроводящих контура, пусть первый контур имеет одну координатную степень свободы (может поступательно перемещаться вдоль оси $x$), второй контур жёстко закреплён. Так как магнитные потоки через сверхпроводящие контуры остаются неизменными, можно записать
\begin{gather}\nonumber L_{11}I_1(x)+L_{12}(x)I_2(x)=\Phi_{01},\\ \nonumber L_{21}(x)I_1(x)+L_{22}I_2(x)=\Phi_{02}. \end{gather}
Здесь $\Phi_{01}, \Phi_{02}$ это потоки захваченные контурами, их значения определяются тем как изначально была приготовлена система; $L_{11}, L_{22}$ не зависят от $x$, кроме того $L_{12}(x)=L_{21}(x)$. Находим решение системы:

$$I_1(x)=\frac{L_{22}\Phi_{01}-L_{12}(x)\Phi_{02}}{L_{11}L_{22}-L_{12}(x)^2},\,\,\,\, I_2(x)=\frac{L_{11}\Phi_{02}-L_{12}(x)\Phi_{01}}{L_{11}L_{22}-L_{12}(x)^2}. $$

Видно, что динамику системы будет определять коэффициент взаимной индукции $L_{12}(x)$.

Энергия поля
$W(x)=1/2(I_1(x)\Phi_{01}+I_2(x)\Phi_{02})$, её производная

$$W'(x)=\frac{-2L_{12}'(x) (L_{11} \Phi_{02} - L_{12}(x)\Phi_{01}) (L_{22} \Phi_{01} - L_{12}(x)\Phi_{02} )}{(L_{11} L_{22} - L_{12}(x)^2)^2}.$$

Экстремумы определяются уравнениями $L_{12}'(x)=0$, $L_{12}(x)\Phi_{02}=L_{22}\Phi_{01}$, $L_{12}(x)\Phi_{01}=L_{11}\Phi_{02}$. Первое уравнение не безынтересно -- его корень даёт такую точку равновесия, что токи при этом могут протекать в обоих контурах (пример -- два соосных кольца в одной плоскости). Два других уравнения определяют такие точки равновесия, что один из токов равен нулю (нет силы Ампера -- поэтому и равновесие). Так корень уравнения $L_{12}(x)\Phi_{02}=L_{22}\Phi_{01}$ (подразумевается, что это уравнение имеет вещественный корень) даёт точку $x_0=L_{12}^{\mathrm{inv}}(L_{22}\Phi_{01}/\Phi_{02})$ в которой $I_1(x_0)=0$. На практике попасть в эту точку просто -- нужно создать сверхпроводящий контур с нулевым током в поле другого контура. Имеют место соотношения $L_{12}(x_0)I_2(x_0)=\Phi_{01}$, $L_{22}I_2(x_0)=\Phi_{02}$, с их помощью мы избавимся от малоинформативных констант $\Phi_{01}$, $\Phi_{02}$. Итак, разложение в ряд $W(x)$ в окрестности $x_0$ имеет вид

$$W(x)=\frac{L_{22}I_2(x_0)^2}{2}+\frac{L_{22}(L_{12}'(x_0)I_2(x_0))^2(x-x_0)^2}{2(L_{11}L_{22}-L_{12}(x_0)^2)}+\mathcal{O}\big((x-x_0)^3\big).$$

Пусть $L_{12}'(x_0)\ne0$, иначе не получим гармонический осциллятор.
Поскольку для коэффициентов индукции справедливы неравенства $L_{22}>0$ и $L_{11}L_{22}>L_{12}^2$, имеет место устойчивое положение равновесия.

Заметим, что если положить $L_{22}$ бесконечно большим, $L_{11}$ конечным, $L_{12}(x)$ тоже конечным при любом $x$, то получим требуемый нам случай внешнего постоянного магнитного поля, создаваемого контуром $2$. Физически это выглядит так: контур $2$ выбран столь большим (очень много витков), что возмущения, вызванные движением маленького контура $1$, практически никак не сказываются на силе тока в контуре $2$. Переходя к пределу $L_{22}\to\infty$ при конечных $L_{11}, L_{12}(x_0)$, для частоты получим
$\omega_0^2=(L_{12}'(x_0)I_2(x_0))^2/(m L_{11})$. Остаётся показать, что в формуле для частоты имеем дело с производной магнитного потока создаваемого контуром $2$ через контур $1$. Имеем $\Phi_{12}'(x_0)=I_2'(x_0)L_{12}(x_0)+I_2(x_0)L_{12}'(x_0)$, но так как $I_2'(x_0)=I_2(x_0)L_{12}(x_0)L_{12}'(x_0)/(L_{11} L_{22}-L_{12}(x_0)^2)$, то в пределе $L_{22}\to\infty$ величина $\Phi_{12}'(x_0)$ стремится к $L_{12}'(x_0)I_2(x_0)$. Поэтому как и ожидалось

dovlato в сообщении #1478534 писал(а):

$$\ddot x+\omega_0^2x\sim0,\quad \omega_0^2=\frac1{\mu L}\left(\frac{d\Phi}{dx}\right)^2$$

[AnatolyBa]

Двоечка в выражении для $W'$ лишняя.
И заметьте, что получилось $W'=-L_{12}'(x) I_1(x) I_2 (x)$ А это стандартная формула

Кстати, в данном контексте нелохо бы почитать Тамма, параграфы 50, 51.
И еще. У Неймана и Демирчяна (ТОЭ, том 1, параграф 2-4) неплохо, на мой взгляд, рассмотрены энергетические нюансы - включая ЭДС которые нужно приложить, если мы хотим поддержать постоянство токов

[lel0lel]

AnatolyBa в сообщении #1479249 писал(а):

Двоечка в выражении для $W'$ лишняя.
И заметьте, что получилось $W'=-L_{12}'(x) I_1(x) I_2 (x)$ А это стандартная формула

Спасибо! Кстати из этой формулы (в предположении, что ток $I_2$ не меняется, только создает внешнее поле) можно без интегрирования получить, что суммарная сила Ампера направлена вдоль градиента внешнего магнитного потока и пропорциональна ему; и про момент сил Ампера справедливо аналогичное утверждение.