Функциональный анализ в квантовой механике

[pogulyat_vyshel]

Eule_A в сообщении #1477664 писал(а):

Всё-таки до чего мило, когда математики начинают указывать физикам, как понимать физику... Каждый раз, когда с этим сталкивался в жизни, в конце концов оказывалось, что под физикой математики подразумевали нечто другое, к физике имеющее в лучшем случае косвенное отношение.
Механику уже испортили так.

а нельзя ли конкретные примеры порчи механики продемонстрировать?

[Eule_A]

pogulyat_vyshel в сообщении #1477681 писал(а):

а нельзя ли конкретные примеры порчи механики продемонстрировать?

Вообще, обычно это демонстрирует здесь кто-то другой Но пожалуйста. Открываете любую книгу по гамильтоновой механике. Или книгу типа "Методов качественного анализа в динамике твёрдого тела" В.В. Козлова. Или "Теоретическую механику" В.Г. Вильке. Можно ещё долго перечислять. Не буду утверждать, что там всё нехорошо (я этого, кстати, вообще, не утверждаю). Но вот такое увидеть в книге по анализу, условно говоря - это нормально. В книге по физике - нет.

Вас, возможно, слово "испортили" задело. Если то, о чём я говорю, перестанут называть механикой, а назовут как-то по-другому (потому что, выражаясь форумными терминами, это обычный "захват темы") - чтобы было понятно, что к нормальной механике всё это не относится - будет другое дело. Можно считать, что механика перешла таким образом на другой уровень и т.д. - сколько угодно. Но это уже не механика как часть физики. Каковой она всегда была.

[pogulyat_vyshel]

Eule_A в сообщении #1477708 писал(а):

Но вот такое
увидеть в

Теорема Пуанкаре о возвращении из учебника по механике Вильке. И что?
Да, есть такие физические эффекты, которые описываются в терминах весьма продвинутой абстрактной математики. От этого они не перестают быть менее физическими, ибо проявляются в эксперименте. Для понимания теоремы Пуанкаре о возвращении нужно относительно хорошее понимание анализа, школьной математики недостаточно. Тем не менее физический эффект, который описывает теорема Пуанкаре проявляется на каждом шагу. Поэтому это именно часть физики и часть математики одновременно.
Ну вот возвращается система в окрестность своего исходного состояния, что поделаешь, и даже время возвращения можно оценить, а потом в эксперименте проверить. Что выбросим этот эффект, будем его игнорировать от того, что математика слишком сложная?

[Eule_A]

pogulyat_vyshel в сообщении #1477716 писал(а):

Поэтому это именно часть физики и часть математики одновременно.

В таком случае эту теорему должно быть можно и сформулировать по-человечески. Доказательство же и вовсе не так интересно. В контексте физики, разумеется. Есть же, например, метод электростатических изображений. По сути, основанный на теореме существования и единственности соответствующего уравнения. Об этой теореме и вспоминают-то вскользь в книгах по электродинамике. Не потому что теорема важностью не обладает. Потому что от неё физикам требуется только то, что она есть. Никому в голову не придёт в книге по электродинамике помещать её доказательство. Есть целый предмет "уравнения математической физики". Вот тут чётко очерчены границы: люди занимаются свойствами уравнений. Не физикой, а уравнениями оттуда. Так и тут. Это не занятия механикой. Это вокруг её уравнений. И интерес оттуда представляют выводы - и то не все, пока они не доведены до "материи". Не нужно смешивать. Тем более прикрываясь вводящим в заблуждение названием.

-- 06.08.2020, 22:21 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1477716 писал(а):

физический эффект, который описывает теорема Пуанкаре проявляется на каждом шагу

Кстати, Вы не могли бы привести пример? Я своё высказывание по Вашей просьбе проиллюстрировал.

[pogulyat_vyshel]

Eule_A в сообщении #1477718 писал(а):

Доказательство же и вовсе не так интересно.

Доказательство теоремы Пуанкаре простое элегантное и остроумное. Оно врезается в память сразу и навсегда. Просто надо понимать, что стоит за формулами из книжкию. Для этого существуют лекторы.

-- 07.08.2020, 00:40 --

Eule_A в сообщении #1477718 писал(а):

В таком случае эту теорему должно быть можно и сформулировать по-человечески.

Сформулировать можно только так как есть. Другое дело, что можно прокомментировать неформально с физическими примерами. И в частности показать, что каждое условие в теореме Пуанкаре необходимо именно физически. И лекторы это делают.

Eule_A в сообщении #1477718 писал(а):

Кстати, Вы не могли бы привести пример?

Представьте себе, что к потолку подвешен трос, а на тросе висит гиря (сферический маятник). Вы эту гирю отводите на какой хотите угол и толкаете в произвольном направлении с произвольной скоростью. Гиря вернется. Или цикличность движений в солнечной системе, парады планет, затмения. Тут надо уже опять таки аккуратно формулировать.

[Eule_A]

pogulyat_vyshel в сообщении #1477728 писал(а):

простое элегантное и остроумное

Это категория субъективная.

pogulyat_vyshel в сообщении #1477728 писал(а):

Другое дело, что можно прокомментировать неформально с физическими примерами.

Значит, это можно и в книге написать. Если Вы такую назовёте, буду признателен. Кстати, такие неформальные комментарии для понимания могут оказать куда большую помощь, нежели строгая формулировка. Например, у Фейнмана много математических утверждений (понятно, что уровнем куда как ниже по сложности) в курсе сформулировано. Но его книгу с математической точно перепутать нельзя - как и должно быть. Кстати, это касается не только ФЛФ, но и более сложных по физическому содержанию книг.

Пока что складывается впечатление, что нужно ждать нового Фейнмана, потому что математики, кажется, даже не пробуют донести свои достижения на неформальном уровне (зато щедро говорят, чего не знают неразумные физики, из-за чего якобы чего-то в физике же не понимают). А Фейнмана, опять же кажется, мы не дождёмся - это уже камень в огород физиков. Тяжёлый булыжник такой.

За примеры спасибо.

[Утундрий]

И.м.х.о., замкнутость орбит планет и теорема Пуанкаре о возвращении - вообще никак не связанные факты.

[novichok2018]

Гиря из примера просто теряет энергию, и поэтому возвращается к начальному неподвижному положению равновесия, так как оно одно и других у неё нет. Тут действительно не обошлось без Пуанкаре?

[pogulyat_vyshel]

novichok2018 в сообщении #1477778 писал(а):

Гиря из примера просто теряет энергию, и поэтому возвращается к начальному неподвижному положению равновесия, так как оно одно и других у неё нет

Гиря, конечно, теряет энергию, но можно сделать так, что эти потери будут происходить очень медленно и на большом промежутке времени систему можно будет считать гамильтоновой. Маятники Фуко, например, сутками качаются почти без потерь. Про то, что положение равновесия является начальным я не говорил, читайте внимательно.

[Fizykochemik]

Eule_A в сообщении #1477664 писал(а):

Всё-таки до чего мило, когда математики начинают указывать физикам, как понимать физику... Каждый раз, когда с этим сталкивался в жизни, в конце концов оказывалось, что под физикой математики подразумевали нечто другое, к физике имеющее в лучшем случае косвенное отношение.
Механику уже испортили так. Видимо, квантовая механика тоже близится к этому состоянию. К сожалению.

На ФФ МГУ математику преподают сотрудники кафедры математики того же ФФ. Являются ли они физиками или математиками, вопрос спорный, но напр. В.Ф. Бутузова у меня язык не повернулся бы назвать физиком.

Я как-то почти случайно оказался на выступлениях посвященных вычислению многопетлевых интегралов КТП. Первоначальная мотивация, конечно, вырастает из физики,
но то, что я там услышал, imho имеет весьма отдаленное отношение к оной. Конечно, я не специалист в этой области.

[Eule_A]

Fizykochemik в сообщении #1477798 писал(а):

Первоначальная мотивация, конечно, вырастает из физики, но то, что я там услышал, imho имеет весьма отдаленное отношение к оной.

Собственно, о чём и речь. Как всегда, есть физические идеи, которые потом формализуются. Так вот не нужно формализацию считать физикой. Только об этом и говорил изначально.

[Freude]

Честно говоря, не пойму позицию pogulyat_vyshel. Функциональный анализ - это рабочий инструмент квантовой механики. Она использует вовсю теоремы связанные с гильбертовым пространством: один из постулатов квантовой механики говорит, что кватовое состояние является лучем в гильбертовом пространстве. Как излагать квантовую механику (с какой степенью формализма) - это дело вкуса и вопрос педагогики. Есть книжки по квантовой механике которые начинаются с определения гильбертовых пространств, как, например, вот эти:

J. M. Jauch, Foundation of quantum mechanics.
John von Neumann, Mathematical foundations of quantum mechanics.

Есть учебники, где все начинается с описания экспериментальных результатов, обосновывающих необходимость квантовой механики. Надо еще учитывать, что часто в университетах квантовая механика дается до изложения специальных глав мат. анализа. Есть еще инженерные специальности, где нужны формулы квантовой механики, но не нужна полнота и строгость математических выкладок - другой уровень абстракции.

-- Сб июл 24, 2021 15:34:38 --

Что касается бра- и кет-векторов Дирака, то здесь позиция еще более странная. Если вы математик, то вам, по идее, должно быть все равно каким значком пользоваться для обозначения элемента гильбертового пространства. Не ожидал, что математик с развитым абстрактым мышлением может так возбудиться по поводу символов нотации.

[Freude]

Обозначения Дирака пользуются популярностью и используются до сих пор потому, что они предлагают удобную запись ... мнемонику (не знаю как это назвать) для математических объектов: если выражение начинается и заканчивается с угольных скобок - это скаляр; если слева и справа вертикальные линии - это оператор; если с одной стороны угольная скобка, а с другой вертикальная линия - это квантовое состояние.

$\langle j|i \rangle$ - скаляр, скалярное произведение, проекция одного вектора на другой.
$\langle j|\hat{H}|i \rangle$ - скаляр, мат. ожидание оператора.
$\langle r|i \rangle$ - скаляр, волновая функция.
$\langle j| n \rangle \langle n |j \rangle$ - скаляр, произведение двух скаляров, мат. ожидание проектора.
$| n \rangle \langle n |$ - оператор, проектор.
$| n \rangle $ - квантовое состояние.
$| n \rangle \langle n | m \rangle $ - квантовое состояние; результатом действия проектора на состояние является новое квантовое состояние.

Эти обозначения легко читать.

[lel0lel]

Freude в сообщении #1527349 писал(а):

$| n \rangle \langle m |$ - оператор, проектор.

Если состояния разные, то это не проектор.

[Freude]

lel0lel в сообщении #1527359 писал(а):

Freude в сообщении #1527349 писал(а):

$| n \rangle \langle m |$ - оператор, проектор.

Если состояния разные, то это не проектор.

да, точно! исправил.