2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Симметрии системы с идеальными связями
Сообщение27.07.2020, 18:05 
Аватара пользователя


31/08/17
1948
На гладком трехмерном многообразии $M$ с локальными координатами $x=(x^1,x^2,x^3)$ задана система с лагранжианом
$$L=L(x,\dot x),\quad \det\frac{\partial ^2L}{\partial \dot x^2}\ne 0$$
и идеальными связями
$$\omega^r=\omega^r_i(x)dx^i,\quad \omega^r_i(x)\dot x^i=0,\quad r=1,2,\quad\mathrm{rang}\,\omega^r_i=2.$$
Кроме того, имеется группа симметрий $g^s:M\to M$ сгенерированная векторным полем $v(x)\ne 0$,
$$L(x,\dot x)=L\Big(g^s(x),\frac{\partial g^s(x)}{\partial x}\dot x\Big),\quad \forall s,\qquad \omega^r_iv^i=0,\quad L_v\omega^r=0.$$
$L_v$ -- производная Ли.

Доказать, что соответствующая система уравнений Лагранжа со множителями интегрируется в квадратурах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрии системы с идеальными связями
Сообщение01.08.2020, 02:36 
Заслуженный участник


23/07/08
8248
Харьков
Выберем произвольную точку $x_0\in M$. Воспользуемся Вашей любимой теоремой о выпрямлении векторного поля. Имея $v(x)\neq 0$, можно в некоторой окрестности $x_0$ построить систему координат, в которой $v$ имеет вид $(1,0,0)$.

Чтобы не вводить новые обозначения, будем считать, что $(x^1,x^2,x^3)$ уже является такой системой координат, где $v_1=1, v_2=v_3=0$.
Из $\omega^r_i v^i=0$ получаем, что $\omega_1^1=0$ и $\omega_1^2=0$.
Теперь из $\omega^r_i\;\dot x^i=0$ с учётом $\mathrm{rang}\,\omega^r_i=2$ получаем $\dot x^2=\dot x^3=0$, то есть $x^2=\operatorname{const}$ и $x^3=\operatorname{const}$ вдоль траектории.

Из $L(x,\dot x)=L(g^s(x),g^s_*(\dot x))$ получаем, что система имеет первый интеграл
$I=\dfrac{\partial L}{\partial \dot q^i}v^i=\dfrac{\partial L}{\partial \dot q^1}$,
т.е. вдоль траектории сохраняется компонента $p_1$ обобщённого импульса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрии системы с идеальными связями
Сообщение01.08.2020, 08:44 
Аватара пользователя


31/08/17
1948
Здорово! И равенство нулю производной Ли оказалось лишним. А там еще интеграл энергии есть. Очень много лишних условий я наставил выходит. Надо другую формулировку придумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрии системы с идеальными связями
Сообщение01.08.2020, 12:12 
Заслуженный участник


17/09/10
1938
svv в сообщении #1476776 писал(а):
можно в некоторой окрестности $x_0$ построить систему координат, в которой $v$ имеет вид $(1,0,0)$

Только надо квадратурами эту систему координат вычислить.
Хотя, если кроме поля $v$ ещё и $g_s$ известны, то вопросов нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрии системы с идеальными связями
Сообщение01.08.2020, 12:57 
Аватара пользователя


31/08/17
1948
Задачка растет из такого сорта наблюдений https://dxdy.ru/post1476748.html#p1476748
естественно

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрии системы с идеальными связями
Сообщение01.08.2020, 13:53 
Заслуженный участник


23/07/08
8248
Харьков
Спасибо! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрии системы с идеальными связями
Сообщение01.08.2020, 18:29 
Заслуженный участник


17/09/10
1938
И всё же, как проинтегрировать в квадратурах движение системы, если неизвестно $g_s$.
Понятно, что связи здесь интегрируемы (система голономная) и есть нётеровский интеграл и интеграл энергии, и конфигурационные пространства есть траектории поля $v$, и всё это чересчур, как заметил автор задачи.
Но если поле $v$ непроинтегрировано в квадратурах, задача не решена.
Думаю, можно чуть изменить условия задачи, чтобы избежать всех этих неприятностей, связанных с вычислением $g_s$.
Например, пусть $i_v\omega^r=0, L_v(d\omega^r)=\Omega^r\ne{0}$ и $d\Omega^r=0$ (тут появляются 2 первых интеграла для поля $v$) или что-то в в этом роде.
Или предложить другое решение или вообще другую задачу.
Конечно, если $g_s$ известны, то вопросов не возникает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group