Теорема Нетер в системе с идеальными связями

[pogulyat_vyshel]

Пусть на гладком многообразии $M$ с локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^m)$ задана система c лагранжианом

$$L=L(x,\dot x),\quad \det\frac{\partial ^2L}{\partial \dot x^2}\ne 0\qquad (0)$$

и идеальными связями

$$\omega^r=\omega^r_i(x)dx^i,\quad \omega^r_i(x)\dot x^i=0,\quad r=1,\ldots,n<m,\quad\mathrm{rang}\,\omega^r_i=n.$$

Т.е. движения ищутся из принципа Даламбера-Лагранжа:

$$\omega^r_i\delta x^i=0\Longrightarrow\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial L}{\partial x^i}\Big)\delta x^i=0.$$

Число степеней свободы этой системы равно $m-n.$
Предположим, что данная система имеет группу симметрий $g^s:M\to M$, которая генерируется векторным полем $v=v(x):$

$$L(x,\dot x)=L\Big(g^s(x),\frac{\partial g^s(x)}{\partial x}\dot x\Big),\quad \forall s,\qquad i_v\omega^r=\omega^r_iv^i=0.$$

Дифференцируя по $s$ первое из этих равенств и полагая $s=0$, имеем

$$ 0=\frac{\partial L}{\partial x}v+\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}\frac{\partial v^k}{\partial x^i}\dot x^i.\qquad(1)$$

ТЕОРЕМА. Система (0) имеет первый интеграл

$$F(x,\dot x)=\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}v^k.$$

Действительно,

$$\dot F=\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}\Big)v^k+\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}\frac{\partial v^k}{\partial x^i}\dot x^i.$$

Это равенство вместе с формулой (1) и принципом Даламбера-Лагранжа:

$$\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}-\frac{\partial L}{\partial x^k}\Big)v^k=0$$

дает утверждение теоремы.
Заметим, что в данной теореме не используется группа $g^s$, а используется только векторное поле $v$, удовлетворяющее условию (1) и условию $i_v\omega^r=0$.
Предположим теперь дополнительно, что

$$v\ne 0,\quad L_v\omega^r=0.$$

Через $L_v$ обозначена производная Ли.
В этом случае в окрестности каждой точки на многообразии $M$ можно ввести локальные координаты $y$, в которых $v=(0,\ldots,0,1)^T.$ Если группа $g^s$ задана, то такие координаты строятся явно.
В этих координатах $g^s(y)=(y^1,\ldots,y^{m-1},y^m+s)$, функция $L$ и коэффициенты форм $\omega^r$ не зависят от $y^m$, а Нетеров интеграл становится циклическим

$$F=\frac{\partial L}{\partial \dot y^m}.$$

Более того $\omega^r_m=0.$

Зафиксируем константу Нетерова интеграла:

$$p=\frac{\partial L}{\partial \dot y^m},$$

и выразим из этого уравнения

$$\dot y^m=u(p,y^1,\ldots, y^{m-1},\dot y^1,\ldots, \dot y^{m-1}).$$

Введем функцию Рауса

$$R(p,y^1,\ldots, y^{m-1},\dot y^1,\ldots, \dot y^{m-1})=(L|_{\dot y^m=u}-p u).$$

Теперь так же, как и обычно, можно показать, что
ТЕОРЕМА. Cистема (0) эквивалентна принципу Даламбера-Лагранжа

$$\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot y^j}-\frac{\partial R}{\partial y^j}\Big)\delta y^j=0,\quad \omega^r_j\delta y^j=0,\quad j=1,\ldots, m-1$$

со связями $\omega^r_j\dot y^j=0.$
Число степеней свободы этой системы равно $m-1-n$ -- порядок системы дифференциальных уравнений понизился на 2.
В общем случае, когда имеются несколько групп симметрий $g^{s_1}_1,\ldots,g^{s_p}_p$ порожденные линейно независимыми в каждой точке
полями $v_1,\ldots, v_p$ то для понижения порядка по Раусу нужно что бы $[v_i,v_j]=0$ тогда существуют локальные координаты в которых $v_i=\partial_i.$