Соскальзывание с полушара

[Mathew Rogan]

На вершине гладкого полушара радиуса $R$ покоится небольшое тело. Ему сообщают горизонтальную скорость $\upsilon_0 < \sqrt{gR} $. Записать уравнение $ \upsilon (t)$, описывающее движение тела до отрыва от поверхности полушара.

[fred1996]

Mathew Rogan
Уравнение будет как у перевернутого математического маятника.

[dovlato]

Если бы рассматривалось начало движения из другой точки, была бы двумерная задача с центральными силами.

[Red_Herring]

dovlato в сообщении #1475801 писал(а):

Если бы рассматривалось начало движения из другой точки, была бы двумерная задача с центральными силами.

Естественно. Тогда, использовав закон сохранения "углового момента" в этой задаче (который соответствует вертикальной составляющей вектора углового момента в 3хмерной задаче), можно было бы отделить азимутальный угол (долготу) и решить задачу в квадратурах (сначала для широты, а потом и для долготы).

[pogulyat_vyshel]

dovlato в сообщении #1475801 писал(а):

Если бы рассматривалось начало движения из другой точки, была бы двумерная задача с центральными силами.

откуда двумерная и откуда центральные силы
ниче не понял

[Утундрий]

Центральность сил при радиальности движения - слабое утешение.

[dovlato]

Двумерная - в простейшем случае, если, как в этой задаче, считать шар зафиксированным. Останутся только широта да широта. А чо не так?

[dovlato]

Прошу прощения: широта да долгота; спасибо коллеге за поправку.

[pogulyat_vyshel]

А понял. Ну сферический маятник это такая же стандартная задача как и математический

[Утундрий]

Пикантность ситуации заключается в том, что по построению движение одномерное.

[Red_Herring]

Утундрий в сообщении #1475914 писал(а):

Пикантность ситуации заключается в том, что по построению движение одномерное.

Если в начальный момент точка была на вершине. Но сейчас обсуждается случай, когда она была не на вершине и угловой момент имел ненулевую вертикальную составляющую.

[dovlato]

Пусть в начальный момент угол между радиус-вектором скользящей точки и вертикальной осью равен $\theta_0$,
вектор скорости $\mathbf V_0$, и в этот момент её модуль меньше скорости отрыва. Тогда угол $\theta$, при котором произойдёт отрыв, определяется уравнением

$$3\cos\theta=2\cos\theta_0+\frac{V_0^2}{Rg}$$