Свойства пустого множества

[Утундрий]

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1474355 писал(а):

математики пришли и сразу отпинали

И это ещё без теории топосов...

[Mihr]

StaticZero в сообщении #1474355 писал(а):

Интересно, что из ложной посылки мы можем получить два противоречивых утверждения.

Полезно запомнить словесную формулировку: из ложного следует что угодно (вариант: из противоречия следует что угодно) - закон Дунса Скота.

[arseniiv]

Gts в сообщении #1474274 писал(а):

Это у меня тут в коде есть две функции anyMatch() и allMatch() (возвращают логический тип). И для меня было очень неожиданно то, что allMatch() для пустого списка возвращает истину.

Если принять, что для пустого списка что-то должно возвращаться, и что значение для списка из $m + n$ элементов должно получаться из значений на его подсписках из $m$ и $n$ элементов, то хороший короткий код получится как раз когда для пустого будут такие значения. В простейшем случае например напишем аналоги стандартных функций all и any из Python, которые берут сразу коллекцию булевых значений:

Используется синтаксис Python

def any2(elems):
    for elem in elems:
        if elem:
            return True
    return False

def all2(elems):
    for elem in elems:
        if not elem:
            return False
    return True
 

если же захотеть, чтобы all2 для пустого списка возвращала False, получится такое:

Используется синтаксис Python

def all2_clumsy(elems):
    for elem in elems:
        if not elem:
            return False
    if elems:
        return True
    return False
 

притом этот вариант будет выдавать для elems, являющихся итераторами, неправильное значение, потому что после цикла итератор истощён и оценивается как пустой, даже если изначально он что-то выдавал. А библиотечные варианты или наши варианты выше при этом всё равно управятся без проблем.

-- Сб июл 18, 2020 22:43:04 --

Хорошие практики программирования нередко дают подобные недвусмысленные ответы на казалось бы академические абстрактные вопросы.

[Sicker]

Mikhail_K в сообщении #1474342 писал(а):

Из первого определения понятно, что открытое, ибо ${\rm{Int}}\varnothing=\varnothing\backslash\partial\varnothing=\varnothing$

Второй переход непонятен

Mikhail_K в сообщении #1474342 писал(а):

Тем, кто не верит в "свойства пустого множества", следовало бы включить в условия ВСЕХ теорем о множествах дополнительное условие "если это множество непусто".

Нет, можно по умолчанию считать, что условие подразумевает непустоту множества (в противном случае понятие истинности неопределено)

Mikhail_K в сообщении #1474342 писал(а):

так как далеко не для всех множеств, встречающихся в математических рассуждениях, вообще известно, пусты они или непусты

И? Можно делать утверждение исходя из того, что множество непусто

[Sicker]

Можно доказать, что утверждение о пустом множестве элементов ложно. Утверждение является ложным в таком частном случае, если оно ложно для любого элемента. Т.е. нам надо доказать, что для любого элемента утверждение ложно при пустом множестве элементов. Это делается по аналогии с истинностью - т.е. мы не можем предоставить такого элемента, при котором утверждение было бы истинным, т.к. элементов нет, а значит наше утверждение о ложности высказывания для пустого множества истинно

-- 19.07.2020, 01:16 --

ИСН в сообщении #1474322 писал(а):

Это Вы ещё не задумывались, видимо, чему равны минимум и максимум от пустого множества чисел.

Если определить максимум множества как минимальное число, при котором истинно утверждение "не существует такого элемента множества, которое было бы больше этого числа", то максимум пустого множества равен минус бесконечности, аналогично минимум равен плюс бесконечности

[mihaild]

Sicker в сообщении #1474447 писал(а):

утверждение о пустом множестве элементов

"Пустое множество элементов" чем-то отличается от просто пустого множества?

Sicker в сообщении #1474447 писал(а):

Утверждение является ложным в таком частном случае, если оно ложно для любого элемента

Откуда вы это взяли? Формулы $\exists x \in X: \neg P(x)$ и $\forall x \in X: \neg P(x)$ находятся в общем положении.

Sicker в сообщении #1474447 писал(а):

для любого элемента утверждение ложно при пустом множестве элементов

Я не могу это прочитать. Кто на ком стоял? Напишите, пожалуйста, формулами.

Sicker в сообщении #1474438 писал(а):

Второй переход непонятен

Можно доказать, что $\varnothing \setminus X = \varnothing$ для любого $X$.

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1474447 писал(а):

Если определить максимум множества как минимальное число, при котором истинно утверждение "не существует такого элемента множества, которое было бы больше этого числа"

Намудрили с выражением по-моему, длинно как-то. Кроме того выше уже написали, что $\max\varnothing = -\infty$.

Вообще кстати лучше определять так, чтобы для подмножеств ограниченного сверху множества максимум выдавал имеющуюся верхнюю грань. Иногда добавление искусственных граней избыточно, например вот перед нами допустим каноническая (или как её там) булева алгебра $\{0, 1\}^A$. Если добавлять грани сверх меры, мы получим уже не булеву алгебру, брр. Кстати говоря эта конструкция мне напоминает получение моноида из полугруппы добавлением искусственного нейтрального элемента — если полугруппа уже была моноидом, мы получим тоже уже новый моноид, где старый нейтральный элемент уже не нейтральный. Ограниченная применимость.

[Sicker]

mihaild в сообщении #1474451 писал(а):

"Пустое множество элементов" чем-то отличается от просто пустого множества?

Нет

mihaild в сообщении #1474451 писал(а):

находятся в общем положении.

Расшифруйте

mihaild в сообщении #1474451 писал(а):

Я не могу это прочитать. Кто на ком стоял? Напишите, пожалуйста, формулами.

Если множество пусто, то $\exists x \in X: \neg P(x)$ и $\exists x \in X: P(x)$ ложны

mihaild в сообщении #1474451 писал(а):

Можно доказать, что $\varnothing \setminus X = \varnothing$ для любого $X$.

Докажите

-- 19.07.2020, 18:37 --

arseniiv в сообщении #1474496 писал(а):

длинно как-то.

А как коротко?

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1474564 писал(а):

Расшифруйте

Ну даже мне понятно, что это значит, что ни одна не следует из другой.

Sicker в сообщении #1474564 писал(а):

Докажите

То есть вы предполагаете, что при доказательстве этого вдруг что-то страшное вскроется? Это extraordinary claim, хоть и скрытый, так что именно вам доказывать проблемность.

Sicker в сообщении #1474564 писал(а):

А как коротко?

Ну как-как, неужели вам не заметно, что формулировка вышла корявая и вам не хотелось бы её поправить?

Кстати все говорят про максимум, хотя имеется в виду супремум [наименьшего ограниченного порядка, содержащего данный].

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1474672 писал(а):

Ну даже мне понятно, что это значит, что ни одна не следует из другой.

Я так и думал, т.е. если верна вторая формула то мы не может сказать, что утверждение ложно?

arseniiv в сообщении #1474672 писал(а):

То есть вы предполагаете, что при доказательстве этого вдруг что-то страшное вскроется?

Нет, не телепатьте

arseniiv в сообщении #1474672 писал(а):

у как-как, неужели вам не заметно, что формулировка вышла корявая и вам не хотелось бы её поправить?

Нормальная формулировка, вы говорите что у вас есть проще, вот и покажите

arseniiv в сообщении #1474672 писал(а):

Кстати все говорят про максимум, хотя имеется в виду супремум [наименьшего ограниченного порядка, содержащего данный].

В случае конечных множеств супремум это максимум

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1474676 писал(а):

Я так и думал, т.е. если верна вторая формула то мы не может сказать, что утверждение ложно?

Смотря какое. (Я не следил, какое утверждение вы там выделили, можно было не полениться и переписать его прям в этот же пост. Но может mihaild таки помнит.)

Sicker в сообщении #1474676 писал(а):

Нет, не телепатьте

Ну тогда мне видится лишь одна альтернатива — вы серьёзно не в курсе как доказать $\varnothing\setminus X = \varnothing$. Это… будоражит, с предполагаемым-то вашим уровнем. Или какие альтернативы я ещё упустил?

Sicker в сообщении #1474676 писал(а):

Нормальная формулировка, вы говорите что у вас есть проще, вот и покажите

Ну, обычная, без «для которых неверно утверждение, что» и т. п..

Sicker в сообщении #1474676 писал(а):

В случае конечных множеств супремум это максимум

Особенно в случае пустых?..

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1474717 писал(а):

Смотря какое.

Любое

arseniiv в сообщении #1474717 писал(а):

Или какие альтернативы я ещё упустил?

Ой, это же элементарно Сорян

arseniiv в сообщении #1474717 писал(а):

Ну, обычная, без «для которых неверно утверждение, что» и т. п..

Ну так покажите его

arseniiv в сообщении #1474717 писал(а):

Особенно в случае пустых?..

Ну да

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1474729 писал(а):

Любое

$P(x)$, что ли? А для какого $x$?

Sicker в сообщении #1474729 писал(а):

Альтернативу того, что все это пустая схоластика, которая мне никогда нигде не пригождалась

Ооооооооооо. (UPD: Впрочем что это я. Это же многое объясняет, если вообще не очевидно к этому моменту.)

Sicker в сообщении #1474729 писал(а):

тут на форуме уже было негодование некоторых математиков на тему свойств пустых множеств.

Оооооооооооооооооооооооооо. Ну я понимаю что ссылок ждать не стоит? Потому что «негодование», кхм. Негодование, во дела, где были мои глаза.

Sicker в сообщении #1474729 писал(а):

Ну так покажите его

Берём любую книжку по частичным порядкам. Там:
Верхняя грань подмножества $S$ частичного порядка $(X, \preceq)$ — такое $b\in X$, что $\forall a\in S.\;a\preceq b$. Запишем это как $S\preceq b$.
Супремум $S\subset X$ — такое $s\succeq S$, что $\forall b\succeq S.\; b\succeq s$.

[mihaild]

Sicker в сообщении #1474564 писал(а):

Если множество пусто, то $\exists x \in X: \neg P(x)$ и $\exists x \in X: P(x)$ ложны

Это правда (считая что под $X$ вы понимаете пустое множество). Как это связано с

Sicker в сообщении #1474447 писал(а):

Можно доказать, что утверждение о пустом множестве элементов ложно

? И что последнее вообще значит? Например утверждение "пустое множество является подмножеством множества натуральных чисел" - утверждение о пустом множестве? Хотите ли вы сказать, что оно ложно?)

Sicker в сообщении #1474564 писал(а):

Докажите

Зачем? Доказывается в одну строчку, но вы действительно сомневаетесь, что это правда?

Sicker в сообщении #1474729 писал(а):

Любое

Ну вообще было бы очень странно, если бы мы могли сказать, что любое утверждение ложно, если верна какая-то не противоречивая формула.

Sicker в сообщении #1474729 писал(а):

Альтернативу того, что все это пустая схоластика, которая мне никогда нигде не пригождалась

Ну не интересна вам теория множеств - так не лезьте в неё. Мне вот дифф. геометрия не пригождалась, а теория множеств - пригождалась.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1474742 писал(а):

$P(x)$, что ли? А для какого $x$?

Так и знал, для непустого Для пустого неверно чтоль?

arseniiv в сообщении #1474742 писал(а):

Ооооооооооо. (UPD: Впрочем что это я. Это же многое объясняет, если вообще не очевидно к этому моменту.)

А перечитать коммент? Я просто не включил голову)
P.S. А к теории множеств у меня было такое отношение всегда, я в принципе ее немного знаю, но не согласен в какой либо пользе применения

arseniiv в сообщении #1474742 писал(а):

ооооооооооооооооооооооооо. Ну я понимаю что ссылок ждать не стоит? Потому что «негодование», кхм. Негодование, во дела, где были мои глаза.

Вот, пожалуйста
Brukvalub против Снэйпа

mihaild в сообщении #1474749 писал(а):

И что последнее вообще значит?

Это значит, что мы имеет $P(x)$ для пустого множества

mihaild в сообщении #1474749 писал(а):

Например утверждение "пустое множество является подмножеством множества натуральных чисел" - утверждение о пустом множестве? Хотите ли вы сказать, что оно ложно?)

Например, ложно утверждение - пустое множество одновременно и непустое множество

mihaild в сообщении #1474749 писал(а):

Зачем? Доказывается в одну строчку, но вы действительно сомневаетесь, что это правда?

Да, я уже выше написал)

mihaild в сообщении #1474749 писал(а):

Ну не интересна вам теория множеств - так не лезьте в неё. Мне вот дифф. геометрия не пригождалась, а теория множеств - пригождалась.

Собственно, это может быть ответом на

arseniiv в сообщении #1474742 писал(а):

Ооооооооооо. (UPD: Впрочем что это я. Это же многое объясняет, если вообще не очевидно к этому моменту.)