Свойства пустого множества

[Gts]

Пусть у нас есть множество $A=\lbrace1, 2, 3\rbrace$.
Хотя бы один элемент множества $A$ больше нуля. Это истина.
Все элементы множества $A$ больше нуля. Это истина.
Здесь вопросов нет, житейская логика срабатывает.

А теперь аналогичные рассуждения с пустым множеством.
1. Хотя бы один элемент пустого множества $\lbrace\rbrace$ больше нуля. Это ложь. Так как я не могу указать элемент, который был бы больше нуля.

2. Все элементы пустого множества $\lbrace\rbrace$ больше нуля. Это истина. Даётся такое объяснение: все элементы пустого множества удовлетворяют условию, так как я не могу указать элемент, который бы не удовлетворял условию.
Но в тоже время, если я не могу указать элемент, который был бы больше нуля, то не станет ли ложью утверждение 2?
Получается, что утверждение 2 одновременно истинное и ложное?

Или с другой стороны: если все элементы $\lbrace\rbrace$ больше нуля, то хотя бы один элемент тоже ведь должен быть больше нуля, а но в 1 показано, что это не так.
Где я делаю ошибку в рассуждениях?

[ИСН]

Если Вы (вот лично один Вы) - человек, то можете указать хотя бы троих из Вас, которые люди?

[mihaild]

Gts в сообщении #1474241 писал(а):

если я не могу указать элемент, который был бы больше нуля, то не станет ли ложью утверждение 2?

А неважно, сможете ли вы указать элемент, который был бы больше нуля. Важно что вы не сможете указать элемент, который не больше нуля.

Gts в сообщении #1474241 писал(а):

Где я делаю ошибку в рассуждениях?

Вот в этом переходе:

Gts в сообщении #1474241 писал(а):

если все элементы $\lbrace\rbrace$ больше нуля, то хотя бы один элемент тоже ведь должен быть больше нуля

[Утундрий]

Если элементов нет, то хотя бы один из них...

[Gts]

ИСН в сообщении #1474248 писал(а):

Если Вы (вот лично один Вы) - человек, то можете указать хотя бы троих из Вас, которые люди?

Нет, не могу. :)

mihaild в сообщении #1474249 писал(а):

Вот в этом переходе:

Утундрий в сообщении #1474250 писал(а):

Если элементов нет, то хотя бы один из них...

Всем спасибо. Сообразил как я делаю ошибку. Из-за слов "все элементы" я обращался с пустым множеством как с непустым при переходе к "хотя бы один". Позор мне.

mihaild в сообщении #1474249 писал(а):

Gts в сообщении #1474241 писал(а):

если я не могу указать элемент, который был бы больше нуля, то не станет ли ложью утверждение 2?

А неважно, сможете ли вы указать элемент, который был бы больше нуля. Важно что вы не сможете указать элемент, который не больше нуля.

Ага, со скрипом понял. Если я не могу указать элемент, который не больше нуля, то все элементы больше нуля и теперь, после того как я "перебрал все элементы", уже не нужно проверять, что я не могу найти элемент, который больше нуля. Спасибо:)

(Оффтоп)

Это у меня тут в коде есть две функции anyMatch() и allMatch() (возвращают логический тип). И для меня было очень неожиданно то, что allMatch() для пустого списка возвращает истину.

[StaticZero]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1474249 писал(а):

Важно что вы не сможете указать элемент, который не больше нуля.

Прошу прощения, что встреваю, но разве могу я указать элемент, который меньше нуля?

Сдаётся мне, что высказывания об элементах пустого множества это какая-то чушь, ведь нельзя прямо проверить их свойства, чтобы утверждения доказать. Приходится вот так вот руками размахивать в стиле "а докажи что нет, ыыы".

-- 18.07.2020 в 03:03 --

(Оффтоп)

Gts в сообщении #1474274 писал(а):

И для меня было очень неожиданно то, что allMatch() для пустого списка возвращает истину.

Ну хоть что-то же оно должно вернуть...

[george66]

Это глубокий вопрос. В обычной логике предикатов выводится
$\forall x \varphi(x) \Rightarrow\exists x \varphi(x)$
потому что предполагается, что переменная пробегает по непустому множеству. К пустому множеству обычная логика не приспособлена. Есть штук 20 вариантов так называемой "свободной логики", в которой приведённую выше схему вывести нельзя, она реально нужна при изучении топосов (в которых логика многозначная и помимо пустых и непустых множеств бывают ещё промежуточные)

[Gts]

(Оффтоп)

StaticZero в сообщении #1474276 писал(а):

Ну хоть что-то же оно должно вернуть...

Ну я ожидал, что оно вернёт ложь для пустого списка. Ведь элементов нет, а значит и нет совпадения. А тут оказывается, что если сравнивать ничего с чем-то, то вот это ничего подмножество чего-то. %)

[ИСН]

Это Вы ещё не задумывались, видимо, чему равны минимум и максимум от пустого множества чисел.

[alisa-lebovski]

ИСН в сообщении #1474322 писал(а):

Это Вы ещё не задумывались, видимо, чему равны минимум и максимум от пустого множества чисел.

Да, это парадоксально, потому что в общем случае максимум надо положить равным минус бесконечности, а минимум - плюс бесконечности.

[Mihr]

StaticZero в сообщении #1474276 писал(а):

высказывания об элементах пустого множества это какая-то чушь

Отнюдь не чушь. Понимайте эти высказывания так: если бы данное множество содержало какие-то элементы, тогда все эти элементы (вариант: хотя бы один из них) были больше нуля (варианты: меньше нуля, равны нулю). Любые варианты подобных высказываний истинны, потому что истинна всякая импликация с ложной посылкой (начинающаяся с логического нуля). Уж так определена импликация.

[mihaild]

StaticZero в сообщении #1474276 писал(а):

но разве могу я указать элемент, который меньше нуля?

Нет. Ну и что? Да, все элементы пустого множества не только не больше нуля, но и не меньше.

StaticZero в сообщении #1474276 писал(а):

высказывания об элементах пустого множества это какая-то чушь, ведь нельзя прямо проверить их свойства, чтобы утверждения доказать

Почему? Можно очень легко проверить свойства любого элемента пустого множества:)

Вообще ИМХО высказывания $\forall x \in X: P(x)$ стоит воспринимать как $\forall x: (x \in X \rightarrow P(x))$ (а соответственно $\exists x \in X: P(x)$ как $\exists x: (x \in X \wedge P(x))$). И тут уже вопросов остаться не должно - посылка импликации ложна (и первый конъюнкт ложен), а значит вся импликация истинна (а конъюнкция ложна).

[vpb]

Говоря формально, утверждение "все элементы пустого множества больше нуля" --- верно. С обычной житейской точки зрения оно, конечно, как-то нелепо выглядит. Но для содержательных математических рассуждений такая условность, когда мы вместо фразы "любой элемент из $M$ больше нуля, или же $M$ пусто", говорим просто "любой элемент из $M$ больше нуля" (подразумевая вторую возможность автоматически), оказывается довольно удобной. Хотя для исключения непоняток лично я предпочитаю, в случае чего, использовать более длинный вариант.

[Mikhail_K]

StaticZero в сообщении #1474276 писал(а):

Сдаётся мне, что высказывания об элементах пустого множества это какая-то чушь

Это очень распространённое заблуждение.
На самом деле, без "свойств пустого множества" в математике всё рассыпается.
Вот первый пришедший в голову пример.
Вот два эквивалентных определения открытого множества в метрическом пространстве: 1) $M$ открыто, если $M={\rm{Int}}M$; 2) $M$ открыто, если у любой точки $x\in M$ существует окрестность $O_r(x)$ подходящего радиуса $r>0$, такая что $O_r(x)\subset M$.
(В первом из этих определений ${\rm{Int}}M$ определяется как $M\backslash\partial M$, граница $\partial M$ определяется в терминах точек прикосновения, а они - непосредственно через метрику.)
Существует несложное доказательство эквивалентности этих определений.

Зададим теперь себе вопрос: пустое множество - оно открытое или нет? Из первого определения понятно, что открытое, ибо ${\rm{Int}}\varnothing=\varnothing\backslash\partial\varnothing=\varnothing$. Чтобы понять это из второго определения, нужны "свойства пустого множества". При этом доказательство эквивалентности этих двух определений ни к каким "свойствам пустого множества" явно не обращается. Просто так получается, что в любых математических рассуждениях о множествах "по умолчанию" пустое множество имеет именно такие свойства, а не другие. Так устроена математическая логика (поскольку, как было уже сказано, "свойства пустого множества" напрямую следуют из определения импликации).

Тем, кто не верит в "свойства пустого множества", следовало бы включить в условия ВСЕХ теорем о множествах дополнительное условие "если это множество непусто". В свою очередь, это в ряде случаев затруднило бы применение этих теорем, так как далеко не для всех множеств, встречающихся в математических рассуждениях, вообще известно, пусты они или непусты. Если, например, мы знаем только второе определение открытого множества и не верим в "свойства пустого множества" (тем самым отказываясь отвечать на вопрос, открыто ли пустое множество), то мы должны будем внести оговорку в теорему об открытости пересечения конечной системы открытых множеств ("... если это пересечение непусто"). А если мы разрешаем себе говорить про "свойства пустого множества" - то никакие оговорки не нужны.

Таким образом, "свойства пустого множества" позволяют нам не рассматривать каждый раз случай пустого множества отдельно, дают тем самым экономию времени. Не верить в "свойства пустого множества" - то же самое, что не верить в отрицательные числа; такое неверие когда-то заставляло математиков, например, вместо единого класса квадратных уравнений $ax^2+bx+c=0$, $a\neq 0$ рассматривать отдельно классы вроде $ax^2+bx=c$, $ax^2=bx+c$ и т.д., сочиняя для каждого свой способ решения.

P.S. Думаю, приведённый мною пример про два эквивалентных определения не самый удачный; первое из этих определений не совсем на слуху. Было бы хорошо придумать много таких примеров, чтобы ни у кого не возникало заблуждений по поводу ненужности "свойств пустого множества".

[StaticZero]

(Оффтоп)

Ууууу, математики пришли и сразу отпинали

Mikhail_K, спасибо, очень доходчиво. Свойства пустого множества, стало быть, естественные.

-- 18.07.2020 в 14:05 --

mihaild в сообщении #1474335 писал(а):

Да, все элементы пустого множества не только не больше нуля, но и не меньше.

Интересно, что из ложной посылки мы можем получить два противоречивых утверждения. В голове у меня сидело, что нам нужно "выбрать что-то одно", не знаю почему.