квантор существования

[zkutch]

Котофеич писал(а):

На самом деле все гораздо сложнее, когда речь идет о теории моделей и теории
доказательств. Доказательства это не математические абстракции которые существуют
в голове некоторых людей, а вполне реальные объекты, поскольку каждый знает, что
доказательство либо есть либо его нет в самом обычном смысле :!: В силу теоремы
Геделя, модели также не могут существовать только в голове. Если они существуют только
в голове,как например для ZFC, то такая теория будет противоречивой.

Уважаемый Котофеич, тут два раза упомянуто словосочетание "существует в голове" и еще "доказательство либо есть либо его нет в самом обычном смысле" что опять таки подразумевает существование, но уже не "голове"?
Т.е. критично как понимать эти слова.

И, пока привыкаю к парапонятиям, хочется спросить ваше мнение о Зиновьеве А.А и его т.н. комплексной логике.

[er]

Котофеич писал(а):

Да разумеется. Как я уже говорил подробная версия будет скоро готова. Но формальное
доказательство даже очень подробное можно легко понять, если ясна глубинная природа
противоречивости ZFC. Природа этого явления как раз и кроется в том, что аксиома СМ является ложной, что очень легко было предполагать из простых соображений, связанных
именно с теоремой Геделя о полноте.

А что такое "аксиома СМ"? Аксиома выбора или еще что? Вроде доказана непротиворечивость ZFС в предположение непротиворечивости ZF.

[Котофеич]

er писал(а):

Котофеич писал(а):

Да разумеется. Как я уже говорил подробная версия будет скоро готова. Но формальное
доказательство даже очень подробное можно легко понять, если ясна глубинная природа
противоречивости ZFC. Природа этого явления как раз и кроется в том, что аксиома СМ является ложной, что очень легко было предполагать из простых соображений, связанных
именно с теоремой Геделя о полноте.

А что такое "аксиома СМ"? Аксиома выбора или еще что? Вроде доказана непротиворечивость ZFС в предположение непротиворечивости ZF.

Аксиома СМ это аксиома существования стандартной модели для ZFC. Эта аксиома в силу
теоремы Геделя о полноте, эквивалентна гипотезе о непротиворечивости ZFC. Эта аксиома
оказалась ложной. Непротиворечивость ZFС в предположение непротиворечивости ZF
была доказана Геделем. Ну и что из этого ZF противоречива, а вместе с ней и ZFC.
То что возможность реального существования СМ в высшей степени сомнительна это почти
очевидно даже для формалистов. Так например Sameone прямо и говорил здесь об этом
используя такое понятие как абстракция. Абстракция это нечто существующее только
в сознании или неизвестно где. Но для непротиворечивости как раз и требуется чтобы модель существовала не в абстрактном, т.е. в неизвестно каком, а в самом прямом объективном смысле. Разумеется это только косвенное указание на возможную противоречивость теории ZFС, потому что априорно нельзя исключить возможность истинности аксиомы СМ. Вообще многие математики часто используют этот совершенно псевдонаучный термин -- абстракция. К математике это не имеет отношения, а
только приводит к путанице. Математика это не какая не абстракция, как болтают тупые
невежественные филосовы и вовсе не бессмысленная игра с символами. Математика это совершенно объективная наука Игра с символами это только т.н. гильбертовская
формальная математика, которая к тому же еще и противоречива. Но надо понимать в каком
веке и когда творил Гильберт. Каждый может ошибиться. Ошибка Гильберта состояла в том,
что теорию бесконечных множеств просто невозможно построить в рамках классической логики. Наука это не религия и здесь вовсе не требуется представлять все неизменным как в коране или в священном писании...

[маткиб]

2Котофеич:

А что Вы подразумеваете под _стандартной_ моделью ZFC? И чем она отличается от любой другой модели?
Кстати, а где можно почитать про аксиому CM?

[Котофеич]

маткиб писал(а):

2Котофеич:

А что Вы подразумеваете под _стандартной_ моделью ZFC? И чем она отличается от любой другой модели?
Кстати, а где можно почитать про аксиому CM?

Ну как Вы понимаете можно взять произвольную модель. Под стандартной моделью
ZFC принято понимать модель в которой отношение принадлежности соответствует интуитивному смыслу этого отношения. Подробно вопрос рассмотрен у Коэна в книжке
о независимости КГ от ZFC. Фактически в матлогике принята без специальных оговорок также еще одна дополнительная аксиома согласно которой все объекты метатеории
подчиняются аксиомам ZFC.В частности любые множества формул это обычные ZFC-множества. Эта аксиома используется со времен Геделя. Поскольку специально это
никогда не оговаривалось, то и возникают всякие недоразумения типа заявлений Вольпина,
что множество формул ZFC это не множество а неизвестно что, поскольку формулы это реальные объекты, а числа и множества это некие абсракции которые существуют только в воображении математиков. Да ради бога пусть так, но тогда нужно принять соответствующие
аксиомы позволяющие применять эту абсрактную ZFC к изучению реальных теорий, а иначе
на кой черт она нужна Вообще такое понятие как абстракция, применяется в математике
только в одном единственном смысле--система аксиом абстрактна в том смысле, что модели
могут быть совершенно разные. Но это вовсе не означает что существование этих моделей
понимают в каком то нелепом абстрактном смысле. Чепуха существование моделей всегда понималось специалистами объективно. Кто утверждает противное просто не знаком с теорией доказательств и теорией моделей. Как известно для теоремы Геделя о полноте
много лет искали чисто синтаксическое доказательство но так и не нашли. Но теорема о
полноте это не абстракция ---это фундаментальный результат который ставит такие понятия
как истинность и непротиворечивость в прямую зависимость от существовыания моделей.
Не следует забывать что вера в непротиворечивость ZFC ничем не обоснована и те кто в это
верить должны верить и в существование СМ.

[маткиб]

Какое тогда отношение имеет стандартная модель для ZFC к теореме Геделя о полноте? Теорема Геделя говорит о существовании некой "экзотической" счетной модели для теории, если теория непротиворечива. Ясно, что в счетной модели ZFC отношение принадлежности не может соответствовать его интуитивному смыслу.

И насколько я понимаю, существование стандартной модели для ZFC - это намного более сильное свойство, чем непротиворечивость. В частности, из существования модели следует непротиворечивость, но не наоборот. Например, из существования стандартной модели следует корректность ZFC относительно стандартной модели натуральных чисел (N). А это гораздо более сильное свойство, чем непротиворечивость. Например, если теория T корректна относительно N, то теория (T+{T противоречива}) непротиворечива, но некорректна относительно N.

[Котофеич]

маткиб писал(а):

Какое тогда отношение имеет стандартная модель для ZFC к теореме Геделя о полноте? Теорема Геделя говорит о существовании некой "экзотической" счетной модели для теории, если теория непротиворечива. Ясно, что в счетной модели ZFC отношение принадлежности не может соответствовать его интуитивному смыслу.

И насколько я понимаю, существование стандартной модели для ZFC - это намного более сильное свойство, чем непротиворечивость. В частности, из существования модели следует непротиворечивость, но не наоборот. Например, из существования стандартной модели следует корректность ZFC относительно стандартной модели натуральных чисел (N). А это гораздо более сильное свойство, чем непротиворечивость. Например, если теория T корректна относительно N, то теория (T+{T противоречива}) непротиворечива, но некорректна относительно N.

Я хочу Вам напомнить, что эти ZFC бывают разные. Обычно предполагается, что имеется
только счетное число предметных констант. Для такой теории метод Геделя разумеется дает счетную нестандартную модель. Если рассматривать теории с произвольным
множеством предметных констант то можно получить модели близкие к СМ.
Сама теорема Геделя говорит о том что любая теорема должна быть истинна в любой модели
в том числе и в стандартной. Теорема о противоречивости говорит что вообще нет никакой модели.Аксиома СМ это действительно сильное утверждение и Коэн на это указывает. Однако
насколько я помню он сумел избавиться от этого предположения и использовал аксиому о
существовании просто некоторой модели М. О моделях я упоминаю только по той причине,
что многие не знакомы с доказательством теоремы Геделя и не знают что это доказательство полностью основано на подчинении объектов метатеории, всем аксиомам
самой теории. Другими словами тут нет никакой разницы между теорией и метатеорией.
Разница чисто словесная между понятием теорема и метатеорема- все это теоремы доказуемые в ZFC. Разумеется метатеория всегда располагает такими средствами
которые например как понятие ZFC-истины, в силу теоремы Тарского не выразимы в ZFC. Но какое это имеет значение Да никакого. Понятие истины используется при доказательстве теорем в ZFC совершенно вне какой либо зависимости от теоремы Тарского.
Противоречивость ZFC на уровне метатеории сразу разрушает все теоремы Геделя и большую
часть теории доказательств. Погружение метадоказательства противоречивости внутрь самой ZFC не играет никакой принципиальной роли.

[маткиб]

2 Котофеич

Еще вопрос хотал задать: а где, по-вашему, проходит граница (примерно) между противоречивыми и непротиворечивыми теориями (речь идет только о теориях, основанных на _классической_ логике). Вы говорили, что арифметика второго порядка противоречива. А противоречива ли, например, арифметика Пеано первого порядка? Или какой-нибудь ее урезанный вариант (например, в которой аксиома индукции есть только для некоторого класса формул)?

[Котофеич]

маткиб писал(а):

2 Котофеич

Еще вопрос хотал задать: а где, по-вашему, проходит граница (примерно) между противоречивыми и непротиворечивыми теориями (речь идет только о теориях, основанных на _классической_ логике). Вы говорили, что арифметика второго порядка противоречива. А противоречива ли, например, арифметика Пеано первого порядка? Или какой-нибудь ее урезанный вариант (например, в которой аксиома индукции есть только для некоторого класса формул)?

Это интересный вопрос. Пеано скорее всего противоречива, если применить к ней те интуитивные соображения, о которых я говорил выше. Но строго доказать противоречивость Пеано, тем методом который я использую для ZF, невозможно. Там нужна более изощренная техника. Я предполагаю, что любое бесконечное множество обладает противоречивыми свойствами. Некоторые паралогики, например Приест придерживаются крайней точки зрения
типа того, что все большие конечные множества противоречивы. Но к серьезной математике
это не имеет отношения. Существование противоречивых множеств не только не мешает
развитию математики но наоборот, как ни странно, способствует ее прогрессу. Но в любом
случае, универсум V{Con}, составленный из одних только непротиворечивых множеств, это ничтожно малая часть универсума всех множеств V

[маткиб]

Котофеич, а Ваш метод доказательства противоречивости до какого предела работает?

[Котофеич]

маткиб писал(а):

Котофеич, а Ваш метод доказательства противоречивости до какого предела работает?

Метод применим к любой теории с рекурсивной схемой аксиом, которая не слабее арифметики второго порядка. Противоречивое множество R# это счетный аналог обычного
расселовского множества. Для построения множества R# нужна аксиома подстановки для
множеств, которая отсутствует в обычной Пеано, но есть в Пеано-2го порядка и разумеется
в ZF. Для погружения метадоказательства внутрь теории ZFC, используются канонические геделевские предикаты
W1(x,y) и W2(x,y) см. Мендельсон предложение 3.27.

[Котофеич]

zkutch писал(а):

Котофеич писал(а):

На самом деле все гораздо сложнее, когда речь идет о теории моделей и теории
доказательств. Доказательства это не математические абстракции которые существуют
в голове некоторых людей, а вполне реальные объекты, поскольку каждый знает, что
доказательство либо есть либо его нет в самом обычном смысле :!: В силу теоремы
Геделя, модели также не могут существовать только в голове. Если они существуют только
в голове,как например для ZFC, то такая теория будет противоречивой.

Уважаемый Котофеич, тут два раза упомянуто словосочетание "существует в голове" и еще "доказательство либо есть либо его нет в самом обычном смысле" что опять таки подразумевает существование, но уже не "голове"?
Т.е. критично как понимать эти слова.
И, пока привыкаю к парапонятиям, хочется спросить ваше мнение о Зиновьеве А.А и его т.н. комплексной логике.

Ну доказательства это вполне конкретные последовательности символов. Тут
Гильберт был совершенно прав, сказав что математика это просто игра в символы. Если
выражаться более конкретно, то это игра в доказательства. У Вас имеются вполне конкретные правила игры. Вы выбираете некоторую стратегию и если Вам повезет, то Ваша
стратегия может оказаться выигрышной, т.е. игра окончится доказательством. Эта процедура
носит совершенно объективный физический характер. В содержательную часть такой игры
мы вдаваться не будем. Это не очень важно в данном контексте.
Теорема Геделя говорит, что такая игра будет непротиворечивой в том и только в
том случае, если существует некоторое бесконечное множество-модель или как еще
говорят интерпретация для этой игры.
Таким образом тут два квантора существования. Первый объективный, который относится к самой игре, которая всегда связана только с конечным числом шагов и
субъективный который связан с абстракцией актуальной бесконечности.
Таким образом на неформальном уровне получается очевидное противоречие. Это противоречие носит конечно неформальный характер и ничего еще не доказывает, но теорема Геделя фактически требует того, чтобы оба квантора имели одинаковый смысл иначе
противоречивость самой игры будет очень вероятной. Это обстоятельство смущало многих
специалистов. Так например Коэн пишет об этом в гл.4 своей книжицы, что мы просто вынуждены принять существование (почти) физической мадели математического универсума. Это Коэновское почти и говорит о том, что не может быть абсолютной
уверенности что такое реализуемо. С момента создания теории противоречивых моделей,
стали понимать, что теорема Геделя это фактическое указание на противоречивость игры
в доказательства, основанной на классической логике