квантор существования

[zkutch]

Котофеич писал(а):

:evil: Да нужно пожалуй перенеcти, а то обобщенные функции попортим. Тема эта интересная
и очень длинная. Я было начал с того что написал как это Гилберт понимал, но это людям
не понравилось. Эта проблема которая разумеется выходит за рамки математики и даже
логики.

Начну с того чтобы вы не огорчались от - "это людям не понравилось." Я бы оценил тут оптимистически - они реагируют эмоционально, значит им это интересно.

Так как совершенно справедливо, что это слово можно обсуждать и обще-философски, Не сочтите, пожалуйста, за назойливость и позвольте выразить пожелание, что будучи математиками и находясь на математическом форуме, давайте обсуждать, в первую очередь, это понятие в математике. Разумеется, если необходимость потребует, то можно делать и экскурсы в другие области.

Суммируя, для тех кто впервые здесь встретится с этой темой, я предлагаю следующий вопрос:

- что значит "существует" в математике?

[Котофеич]

1.
Все зависит от того какая это математика классическая или не классическая. Под классической математикой понимают математику в которой используется так называемая класицкая логика, а под неклассической математикой понимают математику в которой используется некласицкая логика ну например интуиционистская. Простой ученый народ убежден, что математика бывает только класицкая и только класицкая. Но это заблуждение, просто математика в которой используется
классическая логика, стала раньше развиваться, поэтому ее больше вот и создалась иллюзия.
Вообще вопрос о кванторе существования - EzP(x) относится в первую очередь к математической логике, а потом уже к математике.
Если заглянуть в учебник по математической логике, даже самый современный и самый
подробный, то там можно найти очень понятное и очень глубокомысленное определение
этого квантора. Ну типа того, что ExP(x) тогда и только тогда, когда можно указать
такой объект z шо будет верно Р(z) Что значит указать Это совершенно не ясно, как
и чем указать. Толи нужно просто пальцем указать то ли еще чего нужно это не объясняют.
Таким образом на уровне класицкой логики, это понятие носит чисто формальный характер
и представляет собой просто некий символ для которого справедливы известные правила и
аксиомы исчисления предикатов.
В математике этот вопрос не рассматривают, это не ее проблемы. Вся математика это
построение все более и более сложных объектов из исходных объектов, про которые
просто постулировано что они существуют.Классическая математика это просто некий
конструктор, в который взрослые дяди играют и часто не задумываются что оно такое. Таким образом в классической математике под утверждением ExP(x) понимают две вещи (1) можно сконструировать алгоритмически такое z что будет Р(z), (2) можно привести к противоречию
утверждение не верно что ExP(x).
Смысл квантора ExP(x) может сильно зависить от логики. Так в логике без закона исключенного третьего, если мы показали от противного что отрицание ExP(x) противоречиво,
это еще не значит что доказали существование, а только то что не могет не существовать
такого z что будет Р(z). Напомню шо в такой логике двойное отрицание предложения А не эквивалентно самому А.
Уточнение смысла квантора ExP(x) возможно только в результате усложнения логики.
На самом деле как каждый понимает существует различные степени достоверности
существования. Есть вещи существование которых совершенно очевидно, ну например
то шо число 10 или даже 1000000 всегда существует это ясно и в этом никто не сумлевается,
а вот шо существует 100000.....0 с миллиардами в миллиардной степени нулей это уже
не совсем очевидно, но есть некая не нулевая степень достоверности шо это так. Таким
образом достаточно продвинутый смысл квантор ExP(x) получает в очень сложной логике.
Классическая логика это только простейшее хотя и очень важное приближение к реальности.
Частными случаями общей вероятностной логики являются противоречивая логика и модальная логика.
Математика на базе противоречивых логик стала развиваться в конце второй половины
прошлого столетия, практически сразу после появления теории противоречивых логик.
Важным стимулом явилась теория игр с противоречивой информацией развитие которой
стимулировалось военными приготовлениями...
Простой народ думаеть что наша обычная бытовая логика это класицкая аристотелева
логика. Ничего подобного, наша логика это невероятно сложная - бесконечнозначная
вероятностная логика с бесконечным числом уровней достоверности.
Просто логика как и хфизика развивалась постепенно от простого к сложному и это
создало иллюзию фундаментальности именно аристотелевой логики.
В частности наша логика содержит так называемую паранепротиворечивую подлогику
колмогоровского типа.
В нашей бытовой логике есть фундаментальное противоречие открытое в глубокой древности
это так называемый парадокс лжеца. Длительное время считалось что этот парадокс
не имеет отношения к математике, но в конце прошлого века я показал, что на самом деле имеет и самое прямое и многие это поняли. Лжец это так называемая противоречивая истиностная стрелка в обобщенных топосах А.Гротендика
Лжеца официально описали еще в античные времена но понять что это такое тогда естественно не могли. Таким образом впервые противоречие пришло еще в античную математику, где античный Сорокин решал свои пифагоровы штаны и думал что важнее его штанов ничего и нетути.
Ну здрасте сказало коварное противоречие и уселось на песочке, где этот античный Сорокин
рисовал свои фигуры. Здрасте ответил наивный С только не мешай мне видишь я очень занят,решаю уравнение в целых числах. "Какие глупости", сказало коварное противоречие, "я подарю тебе сколько угодно решений подобных проблем и ВТФ впридачу, а за это ты должен отгадать одну маленькую загадку, вот послушай". Я тебе Сорокин говорю
"Я ЛГУ" а ты должен с помощью законов аристотеля определить что имеет место на самом
деле, т.е. я лгу или говорю правду, ведь не могу же я лгать и говорить правду одновременно. Это не трудно сказал наивный С чичас я отгадаю твою загадку...
но он не смог ее разгадать до самой смерти, шли века, сменялись поколения логиков,
а проблема оставалась нерешенной.

Математики как и Sameone не придавали этому делу большого значения и продолжали приспокойно работать. Но в один прекрасный день противоречие добралось наконец и до математики. Это было в тот самый год, когда появилась книжка под названием "Наивная теория множеств наивного Кантора". В этой книжице как известно наивный Кантор вывел всю математику через множества и многим математикам это понравилось. Так вот они торчали у себя на кафедре и зубрили Кантора. В это время в дверях появилось коварное противоречие, а на этот раз оно нарядилось в одежду простого парикмахера. Ну здрасте математики сказало коварное ПРОТИВОРЕЧИЕ и злобно усмехнулось-я ПАРИКМАХЕР Послушай парикмахер сказали вежливые математики , иди отсюда не мешай нам зубрить Кантора. И вообще это университет, тут не место для простого народа, а если будешь приставать, мы наплюем на интеллигентность и надаем тебе по шее... Ой ой сказало коварное противоречие простите меня...у меня есть выгодное предложение, я побрею (бесплатно разумеется) но только тех из вас кто не бреет сам себя В отличие от наивного Сорокина, математики были весьма
и весьма искушены в логике и сразу догадались что это ОНО. Они вытолкнули противоречие за двери, а сами заперлись на кафедре и стали ждать что будет дальше.
Самые смелые из них смотрели в замочную скважину, но при этом тряслись от страха.
Ну и чего сказало коварное противоречие и затряслось от смеха кто то тут собирался
надавать мне по шее. Да знаете что Я могу с Вами сделать Знаем знаем жалобно сказали
математики, прости нас но только уходи отсюда. Хорошо сказало противоречие я ухожу, но
помните я еще вернусь и вернусь по крупному. Когда противоречие ушло, математики с
досадой сказаль, тьфу черт, проклятый Кантор, да он и в самом деле наивен как ребенок,
если не заметил такого. Но к тому времени уже многие разделы математики пользовались
теорией наивного кантора и было уже поздно что то изменить. И вот математики стали
решать что им делать. Сначала они вспомнили про ПЖЕЦА и решили новое противоречие тоже просто проигнорировать. Но быстро поняли что на этот раз такой
номер просто так не прокатит. Тогда математики скрепя сердце, решили пожертвовать очень
большими множествами. Больше всего им было жалко такое замечательное множество
как УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО или множество всех множеств. Но делать было нечего и громко плача они отдали это множество на съедение злобному противоречию.
Математики утешали себя тем, что у них еще осталось очень много множеств, но это было
плохим утешением, потому что они заподозрили, что все не так просто и непротиворечивость
математики должна быть строго доказана. За решение этой проблемы взялся знаменитый
немецкий математик Д.Гильберт.

[Котофеич]

2. С этого самого момента возникает новая наука которая стала называться ОСНОВАНИЯматематики или кратко основания. Гильберт фактически является основоположником этой новой науки, которая долго считалась только областью самой математики.
Подход Гильберта хорошо известен. Его идея состояла в полной формализации всей
классической математики и сведению ее к некоторой формальной игре с символами,
а непротиворечивость такой игры как предполагал Гильберт можно доказать уже
чисто математическими методами. В успехе такого подхода никто тогда не сомневался,
потому что сама мысль о противоречивости всей математики, казалась в те далекие времена просто дикой.
В гильбертовском формализме проблема квантора существования решается очень просто.Логика в таком подходе была просто включена в математику (хотя это две совершенно
разные вещи) и содержательный смысл кванторов там не играет как и все другое никакой
роли. Согласно Гильберту математика характеризуется не смысловым содержанием, а своим
методом. Это весьма сомнительное утверждение, потому что каждый математик знает, что
важные результаты, всегда имеют глубокий содержательный смысл.
Однако надеждам формалистов не суждено было сбыться.
Вскоре пришло известное трагическое известие от другого нецкого математика Курта Геделя.
На самом деле это было все то же коварное ПРОТИВОРЕЧИЕ. Просто ему надоело ждать
когда же математики сами докажут противоречивость своей науки и поэтому противоречие
стало им помогать в этом деле.
Теоремы Геделя не только отменили всю гильбертовскую программу, но и указали на то
обстоятельство, что скорее всего доказуемо обратное то есть противоречивость.
Гедель доказал фундаментальную теорему о полноте которая как правило известна только
специалистам и другую теорему которая называется теоремой о неполноте, которая известна
всем, но доказательство которой также не всем легко доступно.
Теорема Геделя о полноте утверждает, что любая формальная аксиоматическая теория Т первого порядка, непротиворечива если и только если она имеет бесконечную модель М.

Эта теорема Геделя имеет глубокий содержательный смысл и играет в серьезных математических проблемах фундаментальную роль. Именно эта теорема подводит
строгую математическую базу под метод доказательства независимости различных
гипотез.
Эта теорема показывает, что математику в принципе невозможно интерпретировать как
формальную игру. Под непротиворечивостью формальной теории все нормальные математики подразумевают ее непротиворечивость в самом обычном объективном смысле-т.е. противоречие никогда не может быть объективно получено ни на каком шаге
Соответственно существование модели ЕМ с необходимостью будет также объективным
Иначе просто быть не может. Необходимо строго отдавать себе отчет в том, что математика
это никакая там не абстракция, а совершенно объективная наука, которая и применима к
описанию реальности только потому, что в очень высокой степени отражает свойства реального мира.
В то же время эта теорема Геделя говорит о том, что противоречивость известных формальных теории не исключена, поскольку совершенно не очевидно, что такие модели
бесконечные модели обязательно могут быть реализованы в реальном мире.

[zkutch]

получается ситуация явно неутешительная – "существует" определяется через "указать", что одно не лучше другого.
Остаются, как вы говорите, "правила и аксиомы исчисления предикатов" которые затребованы для существования, но я знаю для этого случая только одну формулу, одну из аксиом исчисления предикатов, которая гласит
A(x||t) => ExA
где A(x||t) есть правильная подстановка терма вместо переменной, с необходимым переименованием связанных переменных. А может быть вы имеете ввиду что-нибудь другое?

Фактически посылка указанной формулы и есть то что вы называете " сконструировать алгоритмически " (или я не прав?). Тогда это и сведет существование к игре с символами (т.е. приходим к Гилберту) – написать терм, это написать символы.
А вторая "вешь" сводит "существование" к "непротиворечивости", если не ошибаюсь, вы ранее писали, что это позиция, опять, Гилберта. Итак, существует все то, что не приведет к противоречию. Но как проверять это? Сводить одно к другому и в принципе не иметь ответа и ждать пока не выскочит из-за кустов кто-нибудь вроде древнего критянина или Рассела?

Вы предлагаете выход в усложнении логики и приводите термин " бесконечнозначная
вероятностная логика с бесконечным числом уровней достоверности" – я был бы благодарен если вы дадите ссылку на источник, где можно ознакомится с предметом. Так же, если есть возможность, ссылку на ваше доказательство про лжеца. Интуитивно даже не очень понятно как можно сомневаться в том, что это относиться к математике – другое дело какой давать ответ.

А нельзя ли объяснить в этой новой суперсложной логике как определяется существование? и ссылку бы, есессно.
А нет ли где-нибудь еще каких-нибудь вариантов?

[Котофеич]

zkutch писал(а):

получается ситуация явно неутешительная – "существует" определяется через "указать", что одно не лучше другого.
Остаются, как вы говорите, "правила и аксиомы исчисления предикатов" которые затребованы для существования, но я знаю для этого случая только одну формулу, одну из аксиом исчисления предикатов, которая гласит
A(x||t) => ExA
где A(x||t) есть правильная подстановка терма вместо переменной, с необходимым переименованием связанных переменных. А может быть вы имеете ввиду что-нибудь другое?

Фактически посылка указанной формулы и есть то что вы называете " сконструировать алгоритмически " (или я не прав?). Тогда это и сведет существование к игре с символами (т.е. приходим к Гилберту) – написать терм, это написать символы.
А вторая "вешь" сводит "существование" к "непротиворечивости", если не ошибаюсь, вы ранее писали, что это позиция, опять, Гилберта. Итак, существует все то, что не приведет к противоречию. Но как проверять это? Сводить одно к другому и в принципе не иметь ответа и ждать пока не выскочит из-за кустов кто-нибудь вроде древнего критянина или Рассела?

Вы предлагаете выход в усложнении логики и приводите термин " бесконечнозначная
вероятностная логика с бесконечным числом уровней достоверности" – я был бы благодарен если вы дадите ссылку на источник, где можно ознакомится с предметом. Так же, если есть возможность, ссылку на ваше доказательство про лжеца. Интуитивно даже не очень понятно как можно сомневаться в том, что это относиться к математике – другое дело какой давать ответ.

А нельзя ли объяснить в этой новой суперсложной логике как определяется существование? и ссылку бы, есессно.
А нет ли где-нибудь еще каких-нибудь вариантов?

По поводу классической трактовки существования Вы правы.
Ссылки я конечно дам, но сначала нужно кратко объяснить, что здесь зачем
и почему. Если начинать сразу с топосов то далеко не всем будет понятно о чем это все.
В любом случае нужны примеры чтобы было ясно что все это возникало не на голом месте.
Вся несостоятельность идеи Гильберта, как раз и заключается в том, что гильбертовское формальное существование имеет смысл только если его формальная игра в силу теоремы
геделя имеет реальную модель. Ну например реальный физический континуум можно
вполне предполагать бесконечным и непрерывным, но нет никакой уверенности в том что
это будет как то реализовывать модель для континуума построенного в ZFC.
Cуществование и другие кванторы и связки в любых суперсложных логиках, проще
пояснять сразу в рамках категорного подхода, так что я поясню в свое время.
Однако другой подход тоже существует, он состоит в том чтобы просто все проигнорировать,
а там видно будет. Конечно это все пока спицфицские проблемы, которыми занимается узкий
круг специалистов, однако число работ по неклассицким логикам резко растет год от года.
В конце концов не всем нравится только класицкая математика.

[zkutch]

Игнорировать, разумеется, не выход. Идею вашу я примерно ощущаю, но, т.к. речь идет о математике то нуждаюсь в большей конкретике.
Позвольте поблагодарить вас за проявляенные усилия.
Жду как пояснений, так и ссылок.

[Котофеич]

zkutch писал(а):

Игнорировать, разумеется, не выход. Идею вашу я примерно ощущаю, но, т.к. речь идет о математике то нуждаюсь в большей конкретике.
Позвольте поблагодарить вас за проявляенные усилия.
Жду как пояснений, так и ссылок.

Ну в отличие от математиков, логики не очень сильно испугались Противоречия.
Напротив некоторым из них оно даже очень понравилось, они обступили его со всех сторон,
и стали исследовать, а самые смелые из логиков, даже подошли совсем близко и потрогали
Противоречие пальчиком. Для начала логики классифицировали все известные противоречия,
но идея классификации оказалась неправильной. Большая заслуга в создании этой неправильной классификации, принадлежит знаменитому английскому логику Рамсею.
Он разделил парадоксы на две большие группы (А) логические парадоксы (Б) семантические
парадоксы. К логическим парадоксам, Рамсей отнес те парадоксы, которые по его мнению
имели чисто математическую природу. К семантическим парадоксам Рамсей отнес парадоксы
которые имели по его мнению, чисто семантическую природу и были как бы связаны с
дефектами нашего обычного языка.
Таким образом самое главное и фундаментальное противоречие ЛЖЕЦ скрылось под
безобидным именем от последующих поколений логиков, которые пытались понять в первую
очередь природу парадоксов Рассела и Кантора. Сделать это однако не удавалось, по той
причине, что все такие противоречия индуцируются именно противоречивой истиностной
стрелкой ЛЖЕЦ, в некоторой специальной категории Гротендика. Тогда логики на некоторое
время отказались от этой затеи и стали разрабатывать новую логику, которая не боится противоречий. Такая логика называется паранепротиворечивой логикой.

Вот тут один дядечка книжку написал по противоречивой логике и другим некл. логикам

Lectures on Paraconsistent Logic
http://www.mbph.de/
Там у него усе под одним URL так что книжку надо искать в подразделе Логика,
а то он еще черт знает чем занимается...
Так что для первого ознакомления вполне подходит.
Inconsistent Mathematics
• Mathematics has traditionally been the hallmark of a science that
proceeds by proof, and so is free of falsehoods and more so of
inconsistency.
• Changing the basic logic used in mathematics to a paraconsistent logic
makes mathematics in a weak sense paraconsistent: If there were to
turn up some inconsistency in mathematics, it would not explode. But
since there are no inconsistencies expected to arise there, a
mathematician will not be inclined to forego the deductive power of
standard First Order Logic.
• Changing set theory to a paraconsistent set theory makes mathematics
paraconsistent in a stronger sense, since now the basic axioms are
taken as the inconsistent axioms of naive set theory. There are now real
inconsistencies – may be even inconsistent objects – in mathematics
and the logic, therefore, has to be a paraconsistent one.
• And the inconsistency may not only reside with some elusive set
theoretic entities, but there may be inconsistent numbers as well!

Ну все что там есть это конечно детские забавы. Настоящая противоречивая логика
построена на основе одной очень важной идеи Андрея Колмогорова. Андрей Колмогоров
известен простому народу как великий математик. Однако Колмогоров был также и
одним из крупнейших специалистов по матлогике. Об его идее я после расскажу.

[Котофеич]

3.
Параллельно с противоречивой логикой, стала развиваться противоречивая теория
множеств, а точнее паранепротиворечивая теория противоречивых множеств PST. Существует два принципиально различных типа таких теорий.

[Yuri Gendelman]

To Котофеич
Большое спасибо за информацию и ссылку на Бремера.

[zkutch]

Уважаемый Котофеич
спасибо за Bremer-а, начал понемногу ознакамливаться. Но если это детские забавы, может есть где-нибудь возможность ознакомиться и с самим Колмогоровым. У вас тоже наверняка есть работы по данной области. Как вы ранее упоминали, тема длинная и интересная. Очень надеюсь на сотрудничество.

[Котофеич]

zkutch писал(а):

Уважаемый Котофеич
спасибо за Bremer-а, начал понемногу ознакамливаться. Но если это детские забавы, может есть где-нибудь возможность ознакомиться и с самим Колмогоровым. У вас тоже наверняка есть работы по данной области. Как вы ранее упоминали, тема длинная и интересная. Очень надеюсь на сотрудничество.

Ну не совсем детские, это я так сказал, в том смысле, что у него очень частный и старый подход. Потом там рассматриваются простейшие логики с одним уровнем противоречия. Но в общих чертах то что там написано желательно знать, если хотите
работать в этой области. Работа Колмогорова очень старая. Я ее лучше сам растолкую.
Идеи выдвинутые в этой работе опередели свое время лет на 200 не меньше. Об этой
его работе пишет также В.Успенский в собрании своих трудов. У меня есть работы
в этой области, я потом Вас ознакомлю. Есть также приложения теории таких логик
к обычной непротиворечивой математике. Я всегда за сотрудничество в любой области,
тем более что в этих областях пока работают в основном только логики и поэтому чисто
математических результатов там получено пока очень мало. Так что просмотрите пока этого
Бренера, а через 3-4 дня продолжим.

[Котофеич]

Yuri Gendelman писал(а):

To Котофеич
Большое спасибо за информацию и ссылку на Бремера.

Ну в этой области есть куча работ. Если сами не найдете то обращайтесь.

[Котофеич]

Ну логики в конце концов поняли, что тот факт, что множество Рассела R
ведет к противоречию, вовсе не означает, что такое множество принципиально не существует.
Логики поняли, что существуют множества обладающие противоречивыми свойствами и эти
множества на самом деле существуют Но они не живут по законам обычной логики
Такие множества получили название Противоречивые Множества. Простейшимпримером
такого множества и является расселовское множество R.
Множество R обладает очень важным и интересным свойством, которое впервые
установил бразильский логик А.Арруда. Самое большое множество это универсальное множество или универсум V. Универсум V содержит все множества как
противоречивые так и непротиворечивые. Сам универсум V предположительно это непротиворечивое множество Известный парадокс Кантора не доказуем в рамках
противоречивой логики

[Котофеич]

Естественно возникает вопрос о том какова природа противоречивой логики
Существует две основных концепции, в рамках которых трактуется природа противоречивой
логики и природа противоречивых множеств.
1.Паралогический формализм.2.Паралогический платонизм.

[Котофеич]

Котофеич писал(а):

Естественно возникает вопрос о том какова природа противоречивой логики
Существует две основных концепции, в рамках которых трактуется природа противоречивой
логики и природа противоречивых множеств.
1.Паралогический формализм.2.Паралогический платонизм.

1.Паралогический формализм. Это концепция, которая есть обобщение идеи
Д.Гильберта. Сторонники этой концепции не считают, что нужно придавать конкретный
смысл математическому утверждению А, если оно истинно одновременно с утверждением не А, в лучшем случае объекты этого типа относятся к некоторому
воображаемому универсуму V{Inc}.
Такой точки зрения придерживается большинство логиков-нематематиков. В частности
этой точки зрения придерживался великий русский логик Васильев-основоположник
современной теории противоречивых логик. По этой причине Васильев, назвал свою
логику Воображаемая логика. Он ошибочно полагал, что в реальном мире не может
существовать объективных противоречий.