Неприводимые представления конечных групп

[OlegML]

Существует теорема о том, что количество разных неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов. Любопытно каким образом разбиение группы на классы сопряженных элементов связано с неприводимыми представлениями группы, какие свойства группы определяют множество неприводимых представлений.
Кто нибудь знает?
Пытаясь найти ответ обнаружил следующую теорему. Если некоторый элемент конечной группы коммутирует с k элементами группы, то размер класса сопряженных элементов, которому он принадлежит, можно найти как $c=N/k$, где N- порядок группы. Теорема конечно лежит на поверхности, возможно я ее не разглядел вместе со следствиями за терминологией. Поэтому вопрос: есть ли какие-нибудь интересные следствия?

[Brukvalub]

OlegML в сообщении #1473670 писал(а):

Кто нибудь знает?

Я знаю. Вам хочется, чтобы кто-нибудь переписАл сюда из учебника доказательство этой теоремы?

[OlegML]

Какой теоремы?
Попытаюсь выразиться яснее.
1. Какие свойства группы определяют множество неприводимых представлений.
2. Известна ли приведенная теорема и как она звучит в учебнике или, если длинно, то о чем?

[Brukvalub]

OlegML в сообщении #1473765 писал(а):

1. Какие свойства группы определяют множество неприводимых представлений.

А какие "свойства" группы вы знаете?

OlegML в сообщении #1473765 писал(а):

2. Известна ли приведенная теорема и как она звучит в учебнике или, если длинно, то о чем?

Если "теоремой" вы называете вот это:

OlegML в сообщении #1473670 писал(а):

Если некоторый элемент конечной группы коммутирует с k элементами группы, то размер класса сопряженных элементов, которому он принадлежит, можно найти как $c=N/k$, где N- порядок группы.

, то это тривиальный факт, который в учебниках звучит так: длина орбиты точки при действии конечной группы на множестве равна индексу стабилизатора этой точки.

[vpb]

OlegML в сообщении #1473670 писал(а):

Любопытно каким образом разбиение группы на классы сопряженных элементов связано с неприводимыми представлениями группы,

По разному бывает связано. Но, на вашем уровне можно считать, что никак (кроме того разве, что это --- два конечных множества с одним и тем же числом элементов). Нет никакого естественного соответствия "класс --- представление".

-- 15.07.2020, 04:39 --

OlegML в сообщении #1473765 писал(а):

2. Известна ли приведенная теорема и как она звучит в учебнике или, если длинно, то о чем?

Разумеется. Более общую формулировку привел коллега, а более частная звучит как "порядок класса сопряженности равен индексу централизатора элемента из данного класса".

OlegML в сообщении #1473765 писал(а):

Попытаюсь выразиться яснее.
1. Какие свойства группы определяют множество неприводимых представлений.

Рекомендуется почитать учебник (например, Кострикина) достаточно вдумчиво. Судя по крайне общей формулировке вопроса, у вас пока знаний о группах и представлениях мало (если вообще есть), поэтому обсуждение смысла не имеет.

[OlegML]

Спасибо за исчерпывающий ответ на второй вопрос, обе формулировки дополнили друг друга в смысле понимания.
Мои интересы несколько в стороне от теории групп, поэтому я надеюсь получить на форуме простые ответы на конкретные вопросы.

Любая группа имеет определенную структуру из подгрупп. Кроме того, некоторый элемент группы коммутирует с одними элементами и не коммутирует с другими. Эти свойства часто легко разглядеть в группах.
Достаточно ли знания структуры и/или того что с чем коммутирует для установления количества неприводимых представлений группы определенной размерности?
Возможно ли узнать какой у группы набор неприводимых представлений без изучения таблицы умножения группы?

[Brukvalub]

OlegML в сообщении #1474030 писал(а):

Спасибо за исчерпывающий ответ на второй вопрос, обе формулировки дополнили друг друга в смысле понимания.
Мои интересы несколько в стороне от теории групп, поэтому я надеюсь получить на форуме простые ответы на конкретные вопросы.

Как связаны ваши "далекие от теории групп интересы" с вашими надеждами? Теория групп должна сильно упроститься, чтобы соответствовать вашим надеждам?

[OlegML]

Вас интересует моя мотивация? Я просто очень любопытен.
Похоже ответ на мой вопрос отрицательный. Спасибо за участие.