Последовательность переменных в частной производной

[Solaris86]

Не могу понять, как всё-таки правильно должна выглядеть обозначение последовательности переменных в частной производной.
Допустим, есть функция двух переменных $z = f(x,y)$.
Первую частную производную я беру по $x$, а вторую - по $y$. Как это записать?
У Фихтенгольца так:

В обозначении типа "дроби" в "знаменателе" сначала переменная $\partial x$ (подчёркнута красным), затем переменная $\partial y$ (подчёркнута фиолетовым), а в обозначении типа $u$ и $f$ также сначала индекс $x$ (подчёркнут красным), затем индекс $y$ (подчёркнут фиолетовым).
$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac {\partial^2}{\partial x \partial y} = z_{xy}'' = f_{xy}''(x,y)$
У Зорича наоборот:

Сначала идёт переменная от второй производной (подчёркнута красным), затем переменная от первой производной (подчёркнута фиолетовым).
$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac {\partial^2}{\partial y \partial x} = z_{yx}'' = f_{yx}''(x,y)$
Какая последовательность переменных слева направо в обозначениях всё-таки правильная: от первой производной к последней производной или наоборот от последней производной к первой производной?

[Pphantom]

Сейчас обычно сначала - самая правая, потом - вторая справа и т.п. Иначе говоря,

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right).$$

Но вообще-то при работе с достаточно гладкими функциями порядок дифференцирования можно менять, результат при этом не изменится.

[Mikhail_K]

Pphantom в сообщении #1473677 писал(а):

Сейчас обычно сначала - самая правая, потом - вторая справа и т.п. Иначе говоря,

$$\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right).$$

Ничего себе! Всегда думал, что наоборот. Наверное, потому что изучал мат.анализ по Фихтенгольцу.

[Pphantom]

Нам когда-то говорили, что основная традиция сменилась примерно в 80-х годах. Правда, по-видимому, лучше в любом случае указывать последовательность явно (если дифференцируемые функции такие, что разница может возникнуть).

[Solaris86]

Благодарю!

[Утундрий]

Solaris86 в сообщении #1473675 писал(а):

Не могу понять, как всё-таки правильно должна выглядеть обозначение последовательности переменных в частной производной.

Как определите, так и будет правильно. Никакого глубокого смысла в этих традициях нет, поэтому при необходимости их всегда можно ломать.

[StaticZero]

Утундрий как всегда...

(Оффтоп)

Прав, разумеется.

[Утундрий]

Беда в том, что "обосновать" можно что угодно. Хотя, возможно, в неких договорённостях (хотя бы с самим собой) и может быть смысл. Чтобы раз принять и не задумываться. Типа мнемоники для перевода стрелок: Весной - Вперёд, а Осенью - Обратно.

Ну, например, считать, что дифференцирование - это всегда оператор, действующий слева, но записывающийся как слева (через $\partial$), так и справа (посредством индекса).

[arseniiv]

Я бы видимо постарался просто не использовать обозначение $\dfrac{\partial^n}{\partial x_{i_n}\cdots\partial x_{i_1}}$, когда оператор применяется к не $n$ раз дифференцируемой по-нормальному функции (а кому нужно уметь обрабатывать страшные функции, тому мои соболезнования). Вместо этого и те же индексы справа, и какие-нибудь $D_{i_n}\cdots D_{i_1}$ на вид куда менее коммутативны, чтобы бояться, что разные люди поймут порядок по-разному.