Strong geometric inequality

[Gagarin1968]

novichok2018 в сообщении #1473520 писал(а):

Доказать неравенство для синуса в школе честно нельзя. Картинки не доказательство.

novichok2018
А в школе и не основываются на картинках.
В данной задаче я привёл решение, которое основывается на двух вещах.
1. Теорема евклидовой геометрии (7-й класс, между прочим) о том, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. Это честная теорема.
2. Определение отрезка прямой в евклидовой геометрии (также 7-й класс): отрезок прямой - это наикратчайшая кривая, соединяющая две данные точки пространства. Это честное определение.

Что же в таком случае нечестного в приведённом мной доказательстве неравенства $\displaystyle \sin \frac {\pi}{36}<\frac {\pi}{36}$?

[StaticZero]

novichok2018, ну проведите ещё отрезок $PR$, дугу-то можно сравнить с отрезком, на который она опирается?

[novichok2018]

Верите что можно - верьте. Спорить не буду.

[Gagarin1968]

novichok2018 в сообщении #1473540 писал(а):

Верите что можно - верьте

novichok2018
А это не вопрос веры.
1. Перпендикуляр из точки к прямой меньше наклонной из этой точки? Или нет?
2. Наклонная, которая сама является хордой окружности, меньше дуги, которую она стягивает? Или нет?
3. Стало быть, перпендикуляр к прямой и подавно меньше дуги окружности? Или нет?
Какая же здесь вера?

[Null]

Пункт 2 доказать строго очень сложно.

[StaticZero]

(Оффтоп)

Null в сообщении #1473552 писал(а):

Пункт 2 доказать строго очень сложно.

Всё элементарно, в плоской геометрии прямые --- это геодезические...

А если серьёзно, то измерение расстояния между двумя точками в школе с самого начала делают через длину соответствующего отрезка. Так что факт этот, боюсь, именно что нужно называть элементарным, иначе это бурбакизм будет какой-то невыносимый.

[Gagarin1968]

Null в сообщении #1473552 писал(а):

Пункт 2 доказать строго очень сложно.

Null
Вообще-то выше я ссылался не на доказательство, а на определение

Gagarin1968 в сообщении #1473527 писал(а):

Определение отрезка прямой в евклидовой геометрии (также 7-й класс): отрезок прямой - это наикратчайшая кривая, соединяющая две данные точки пространства

Речь ведь в теме идёт о школьном доказательстве неравенства $\displaystyle \sin \frac {\pi}{36}<\frac {\pi}{36}$
Топикстартер ведь отметил это:

ghenghea в сообщении #1473139 писал(а):

I would like to see a solution using elementary methods

Или как в той хохме: студенты мехмата настолько суровы, что доказывают определения!

StaticZero в сообщении #1473554 писал(а):

измерение расстояния между двумя точками в школе с самого начала делают через длину соответствующего отрезка. Так что факт этот нужно называть элементарным

StaticZero
Согласен на все 100!

[Null]

Вам о том и говорят, что нестрогий школьный уровень это вопрос веры. Половина использованных вами утверждений это теоремы. Либо вы в них верите, как это делают в школе и на олимпиадах, либо строите сложные, но строгие доказательства.
Например известный школьный парадокс:
1.Говорят что отрезок кратчайшая кривая между точками, для этого нужна длина.
2.Вводят определение длины как предел ломанных. Иначе длину окружности ни как не посчитать.

[gris]

вот ещё признак школьной элементарности: подобная задача была на вступительных экзаменах или на официальных школьных олимпиадах. В последние годы, конечно, всякое может быть. Ой, Null уже сказал.
Скажем, задача, которая предполагает использование метода с упомянутым неравенством для синуса.
А определение отрезка через расстояние выводит дискуссию в иные измерения
Интересно, что делать с кривыми, у которых нет длины.

[novichok2018]

И доказательство предела для синуса в начале матана тоже трудно сделать строгим. Второе неравенство требует площади круга/сектора, а в этом месте нет ещё даже производных, которые следуют из этого неравенства, ну и нет нужных интегралов, без которых невозможно строгое определение площади. Кто заинтересуется и не знает - есть специальная статья Хованского по теме.

[StaticZero]

Null в сообщении #1473557 писал(а):

1.Говорят что отрезок кратчайшая кривая между точками, для этого нужна длина.
2.Вводят определение длины как предел ломанных. Иначе длину окружности ни как не посчитать.

А в чём парадокс, кстати? Ломаные, приближающие спрямляемую кривую, состоят ведь из отрезков, в длину которых мы как раз "верим", разве нет?

[Mikhail_K]

StaticZero в сообщении #1473583 писал(а):

А в чём парадокс, кстати?

В том, что длина кривой определяется через длины отрезков, а отрезок - через длины произвольных кривых.

novichok2018 в сообщении #1473563 писал(а):

Кто заинтересуется и не знает - есть специальная статья Хованского по теме.

Какая статья? Сходу не удалось найти.

[novichok2018]

Извините, перепутал автора, вот ссылка:
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

на самом деле на строгом уровне всё непросто, начиная с определения синуса и радиан. Посмотрите.

[Mikhail_K]

novichok2018
Спасибо.

[Sasha2]

1) Продолжим BC за точку B на BD=1/2BC.
2) Из треугольника ACD, если предположить, что AC не меньше DC, то тогда угол ADC должен быть больше сорока градусов. Но тогда в этом же треугольнике сумма углов окажется больше 180 градусов.
Следовательно CD > AC, т.е. 3/2BC>1. А это и есть то, что нужно доказать.

Разве неправильно?