2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Strong geometric inequality
Сообщение10.07.2020, 05:59 


25/07/16
19
In a triangle $ABC$ we have $AB = AC = 1$ and $\angle{BAC} = 40^{\circ}$. Show that $BC$ is strictly greater than $\frac{2}{3}$.

I would like to see a solution using elementary methods.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение10.07.2020, 09:25 


21/05/16
4292
Аделаида
Теорема косинусов - неэлементарный метод?

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение10.07.2020, 09:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Теорема косинусов элементарный метод, но как найти $\cos 40^{\circ}$ :?: Тут или Брадис, или Тейлор. Или кубическое уравнение. В принципе, сводится к $BC=\sqrt 3-\dfrac {2}{\tg 10^{\circ}+\sqrt 3}$ и оценке упомянутого тангенса через кубическую функцию, но очень уж муторно. Может быть есть чисто геометрическое решение?
Можно уложить копии треугольника в правильный девятиугольник.
Получим красивое неравенство $BC<2\pi/9$ Оно даже тоньше спрашиваемого :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение10.07.2020, 10:40 


21/05/16
4292
Аделаида
$BC^2=2-2\cos40^{\circ}$. $BC>\frac23$ тогда и только тогда, когда $\cos40^{\circ}<\frac79$. По Тейлору $\cos40^{\circ}=\cos\frac{2\pi}9<1-\frac{2\pi^2}{81}+\frac{2\pi^4}{19683}\approx0.7664<\frac79$. Всо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение10.07.2020, 11:49 


02/04/18
240
Exact proof.

Essentially, we want to prove that $\cos 70^\circ > \frac {1}{3}$
Note that for $\alpha \in (0^\circ, 90^\circ)$, if $\cos\alpha\vee A$ then $\cos(2\alpha)\vee 2A^2-1$ (where $\vee$ is any comparison sign).
Also, if $\cos\alpha<A$ then $\cos(180^\circ-\alpha)>-A$ and vice versa.

Suppose that the statement is wrong, so that $\cos 70^\circ \leqslant \frac{1}{3}$.
It means that $\cos 140^\circ \leqslant -\frac{7}{9}$, and $\cos 40^\circ \geqslant \frac{7}{9}$.

Furthermore, $\cos 80^\circ \geqslant \frac{17}{81}$, $\cos 160^\circ \geqslant -\frac{5983}{6561}$ and $\cos 20^\circ \leqslant \frac{5983}{6561}$

Hence, $\frac{7}{9}\leqslant\cos 40^\circ \leqslant 2 \frac{5983^2}{6581^2}-1=\frac{28545857}{43046721}$.

Otherwords, from $\cos 70^\circ \leqslant \frac {1}{3}$ follows that $\frac{7}{9} \leqslant \frac{28545857}{43046721}; 301327047 \leqslant 256912713 $.
We have got a contradiction.

Thus, $\cos 70^\circ > \frac {1}{3}$
QED

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение10.07.2020, 13:13 
Заблокирован


16/04/18

1129
Выпуклость - элементарный метод?
$$
\frac{1-\cos(40)}{2}>1/9,\ \  \sin^2(\frac{\pi}{9})>1/9,\ \  \sin(\frac{\pi}{9})>1/3.
$$
Следует из того, что график синуса лежит над хордой, проходящей через точки $(0,0), (\frac{\pi}{6},1/2)$, это хорда $y=\frac{3}{\pi}x$, следовательно $\sin\frac{\pi}{9}> \frac{3}{\pi}\frac{\pi}{9}=1/3.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение10.07.2020, 18:44 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Почти чистая геометрия:
Пусть $AD$ высота. Нарисуем прямоугольный треугольник $AKL$ так чтобы:
1.$K$ лежит на $AC$. $AK=AD$
2.$\angle AKL$ прямой.
3. $\angle KAL=20^\circ$
4.$\angle BAL=60^\circ$
Тогда $BL=1$, $BC=BC$, $KL=\frac{1}{2}BC$, Можно проверить что проекции $BC$ и $KL$ на $BL$ покрывают его, получим то что нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение11.07.2020, 07:54 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
А можно ещё проще.
Как упомянул kotenok gav, всё сводится к неравенству
kotenok gav в сообщении #1473153 писал(а):
$\cos40^{\circ}<\frac{7}{9}$

И здесь без всякого Тейлора, используя только школьную тригонометрию (косинус разности двух углов), получаем:

$\displaystyle \cos \frac {2\pi}{9} = \cos \left (\frac {\pi}{4} - \frac {\pi}{36}\right ) = \cos \frac {\pi}{4} \cos \frac {\pi}{36} + \sin \frac {\pi}{4} \sin \frac {\pi}{36}$

Взглянув на последнее выражение, можно увидеть, что $\displaystyle \sin \frac {\pi}{4}=\cos \frac {\pi}{4}=\frac {\sqrt {2}}{2},~~~\cos \frac {\pi}{36}<1,~~~\sin \frac {\pi}{36}<\frac {\pi}{36}$.

Сопоставив всё это, можно легко прийти к искомому неравенству.
Брадиса или калькулятор, я так понимаю, использовать нельзя, но делить-то в уму до 3-го знака после запятой, я, надеюсь, дозволяется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение11.07.2020, 08:23 
Заблокирован


16/04/18

1129
Неравенство для синуса - это всё равно матан, хоть и выглядит просто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение11.07.2020, 08:26 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
novichok2018 в сообщении #1473280 писал(а):
Неравенство для синуса - это всё равно матан
Да, но школьный элементарный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение11.07.2020, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Каждый школьник уверен, что периметр вписанного в фиксированную окружность правильного многоугольника возрастает с числом сторон, приближаясь к длине этой окружности. А попроси доказать? Да вообще: разве все манипуляции с синусом как с функцией элементарны?
По задаче: если поверить школьнику, то периметр правильного девятиугольника больше периметра правильного шестиугольник, вписанного в ту же окружность. $9BC>6$
:?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение12.07.2020, 12:17 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
Gagarin1968 в сообщении #1473278 писал(а):
$\displaystyle \sin \frac {\pi}{36}<\frac {\pi}{36}$
novichok2018 в сообщении #1473280 писал(а):
Неравенство для синуса - это всё равно матан, хоть и выглядит просто
gris в сообщении #1473320 писал(а):
разве все манипуляции с синусом как с функцией элементарны?
По некоторому размышлению прихожу к выводу, что таки да, элементарны.
Вот тут я скоренько нацарапал тригонометрическую окружность (9-й класс).

Изображение

Точка $P$ соответствует $\displaystyle \frac {\pi}{36}$ на этой окружности.
Тогда $\displaystyle \sin \frac {\pi}{36}$ - это расстояние $PQ$ от данной точки до оси абсцисс по перпендикуляру, а вот сам $\displaystyle \angle POX=\frac {\pi}{36}$ - это также расстояние от данной точки до оси абсцисс, но по дуге $\smile PR$, само собой, в радианах.
Очевидно, что угол больше, а, стало быть и $\displaystyle \sin \frac {\pi}{36}<\frac {\pi}{36}$.

Так что вполне себе геометрия - тригонометрия для 9 класса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение12.07.2020, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
расстояние вдоль дуги? ну да, чисто интуитивно, чтобы задачи решать, вводится и длина окружности и поверхность сферы. но это элементарно лишь в смысле "элементарно, пацаны".

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение12.07.2020, 19:03 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
gris в сообщении #1473508 писал(а):
чисто интуитивно, чтобы задачи решать, вводится и длина окружности и поверхность сферы. но это элементарно лишь в смысле "элементарно, пацаны"
gris
Это Вы зря. А как Вы думаете в школе преподносят геометрию с тригонометрией?
А вот так: сначала вводят длину окружности как предел постепенного приближения, сверху - описанными правильными многоугольниками, снизу - вписанными. И не на уровне "элементарно, пацаны", а с определённой степенью строгости, используя определения, леммы и теоремы.
После этого доказывается, что хорда окружности короче дуги, которую она стягивает. Но здесь Вы правы, доказательство больше качественное, на пальцах - вот, между точками окружности $P$ и $R$ укладывается резиночка точно по дуге, а вот мы резиночку потянули - и получили хорду, которая, естественно, (очевидно, само собой разумеется, ежу понятно и т.д.) короче дуги.
После этого вводится радианная мера угла, а уже после всего этого начинается школьная тригонометрия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Strong geometric inequality
Сообщение12.07.2020, 21:11 
Заблокирован


16/04/18

1129
Доказать неравенство для синуса в школе честно нельзя. Картинки не доказательство. А если четверть не первая, угол мильон градусов и тд. Его и в матане честно доказать очень сложно, есть специальные статьи на тему от хороших математиков.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group