Снова о сферах

[drobyshev]

Оболочка массой $m=1$ г в системе покоя имеет форму сферы радиусом $a=10$ м. Ее начальная скорость в системе отсчета, в которой реликтовое излучение изотропно, составляет $v_0=0{,}999c$. Через какое время скорость уменьшится до значения $v_1$, равного половине скорости света? Оболочка отражает падающее на нее излучение любых длин волн. Силу сопротивления межзвездного газа не учитывать.

Характерная температура реликтового излучения $T=2{,}725$ K, а постоянная Стефана-Больцмана $\sigma=5{,}670\cdot 10^{-8}\,\text{Вт}/(\text{м}^2\cdot\text{К}^4)$.

[drobyshev]

(Оффтоп)

Ответ получился следующим:

$\displaystyle t=\frac{3}{8}\frac{mc^2}{\sigma T^4 S}\ln\frac{\gamma_1+1}{\gamma_1-1}\frac{\gamma_0-1}{\gamma_0+1}$,

где $S=4\pi a^2$ - площадь сферы, $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ - релятивистский фактор. Численно $t=692$ млн. лет.

[AnatolyBa]

Что-то у меня коэффициент $\frac{3}{8}$ на получается. Как ни кручу получается $\frac{1}{2}$

[drobyshev]

AnatolyBa в сообщении #1473287 писал(а):

Что-то у меня коэффициент $\frac{3}{8}$ на получается. Как ни кручу получается $\frac{1}{2}$

Обратный коэффициент $\frac{8}{3}$ возникает у меня в выражении для силы $\displaystyle F'_z\sim \int d^3\mathbf{k}' f'(\mathbf{k}') k'_z$, где штрихи обозначают величины в сопутствующей СО, $f'(\mathbf{k}')$ - функция распределения фотонов в конфигурационном пространстве. Переходя к лабораторной СО, имеем

$$F'_z=F_z, \qquad f'(\mathbf{k}')=f(\mathbf{k}), \qquad \frac{d^3\mathbf{k}'}{k'}=\frac{d^3\mathbf{k}}{k}, \qquad k'_z=\gamma k (\cos\theta -v/c), \qquad k'=\gamma k(1-v\cos\theta/c),$$

причем $f(\mathbf{k})$ - обычная бозе-эйнштейновская функция. Интегрирование по $\theta$ дает

$$\int\limits_0^\pi d\theta \sin\theta (\cos\theta -v/c)(1-v\cos\theta/c)=-(8/3)(v/c).$$

[AnatolyBa]

Это выражение для силы, в интеграле фигурирует $k'_z$ - не соответствует ли оно случаю полностью поглощающей поверхности?

[svv]

Фотоны отражаются от оболочки под разными углами (к направлению падения), в результате в сопутствующей СО оболочке передаётся импульс в 2 раза меньше, чем если бы каждый фотон отражался в противоположном направлении. То есть — как если бы фотоны поглощались оболочкой.

[AnatolyBa]

Это абсолютно точно или с точностью до порядка?
У меня ведь ответ получился очень близким к авторскому, разница (причем незначительная) в коэффициенте

Да, для сферы получается точно. Ладно, буду искать дальше.

[AnatolyBa]

Нашел ошибку, спасибо

[svv]

Моё первоначальное решение было примерно как у drobyshev, потом захотелось немного упростить, кратко опишу, что получилось.

Рассмотрим оболочку в сопутствующей СО. Как говорилось, импульс, передаваемый оболочке фотонами, такой же, как если бы фотоны поглощались оболочкой. Импульс, передаваемый оболочке за время $\Delta t$, равен импульсу всех фотонов в произвольной области объёмом $V=\pi a^2 c\Delta t=\frac 1 4S c\Delta t$:
$P'^i=\dfrac 1 c T'^{i0}V, \quad i=1,2,3$,
где $T'^{ik}$ — ТЭИ в сопутствующей СО.

Пусть относительная скорость СО направлена вдоль координаты $x^1$. Тогда отлична от нуля только компонента 3-силы
$F'^1=\dfrac 1 4 S T'^{10}$, где
$T'^{10}=\dfrac{dx'^1}{dx^i}\dfrac{dx'^0}{dx^k}T^{ik}$
В лабораторной СО излучение изотропно, поэтому $T^{10}=T^{20}=T^{30}=0$. Кроме того, след ТЭИ равен нулю, поэтому $T^{00}=3T^{11}$, и
$T'^{10}=-\beta\Gamma^2(T^{00}+T^{11})=-\frac 4 3\beta\Gamma^2 T^{00}$
Плотность энергии излучения $T^{00}=\dfrac{4\sigma}{c}T^4$ возьмём из ЛЛ5, формула (63.14).

Собирая всё вместе, получим
$F'=-\dfrac{4\sigma T^4 S}{3c}\beta\Gamma^2 $
Отсюда (уже в лабораторной СО)
$dt=-\dfrac 3 8 \dfrac{mc^2}{\sigma T^4 S}\dfrac {2d\beta}{\beta\sqrt{1-\beta^2}}$,
и после интегрирования получаем ответ.