2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Элементарные вопросы алгебры
Сообщение07.07.2020, 00:02 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
vadimm в сообщении #1472710 писал(а):
конечно мой первый вариант доказательства провален
Ну, почему ж сразу провален-то. Не самый простой/короткий — разумеется. Требует доработки — однозначно. Но таки ж не провален, имхо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные вопросы алгебры
Сообщение07.07.2020, 10:57 


21/05/16
4292
Аделаида
vadimm в сообщении #1472710 писал(а):
Выходит, что используя аксиому существования и свойство единичного элемента группы, сделать можно, наверное так: $e_1 = e_1e_2 = e_2$.

Да, именно.
vadimm в сообщении #1472710 писал(а):
$ (1) ~e^{-1} = e$,
$e^{-1}e = e^{-1}$ (аксиома единичного элемента)
$e^{-1}e = e$ (аксиома обратного элемента к элементу $e$).

Правильно.
vadimm в сообщении #1472710 писал(а):
$ (2) ~(a^{-1})^{-1} = a,$
$(a^{-1})^{-1} = (a^{-1})^{-1}e = (a^{-1})^{-1}(a^{-1}a) = ((a^{-1})^{-1}a^{-1})a = ea = a.$

Есть более простое доказательство, не использующее ассоциативность (рассмотрите $aa^{-1}$ и $(a^{-1})^{-1}a$ и воспользуйтесь правилом сокращения, которое верно в группах (доказательство которого так же не использует ассоциативность, докажите его)).

-- 07 июл 2020, 17:31 --

Такая структура, кстати ("неассоциативная группа") называется петлёй (точнее, для ваших последних двух теорем стоит либо добавить в петлю условие того, что левый и правый обратный элемент всегда совпадают, либо чуть уточнить их (попробуйте это сделать)).

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные вопросы алгебры
Сообщение07.07.2020, 16:39 


18/01/20
72
kotenok gav в сообщении #1472723 писал(а):
рассмотрите $aa^{-1}$ и $(a^{-1})^{-1}a$ и воспользуйтесь правилом сокращения
Это имеется ввиду: $1) ~aa^{-1}=e, ~(a^{-1})^{-1}a^{-1} = e \Rightarrow 2) ~(a^{-1})^{-1}a^{-1} = aa^{-1} \Rightarrow 3) ~(a^{-1})^{-1} = a$ , сократив левую и правую части $(2)$ на $a^{-1}?$ Если так, то почему это проще?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные вопросы алгебры
Сообщение07.07.2020, 16:56 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
kotenok gav в сообщении #1472723 писал(а):
правилом сокращения, которое верно в группах (доказательство которого так же не использует ассоциативность, докажите его)
Как это вы (не спрашиваю — зачем) докажете правило сокращения без ассоциативности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные вопросы алгебры
Сообщение07.07.2020, 17:01 


21/05/16
4292
Аделаида

(Старое)

vadimm в сообщении #1472760 писал(а):
Это имеется ввиду: $1) ~aa^{-1}=e, ~(a^{-1})^{-1}a^{-1} = e \Rightarrow 2) ~(a^{-1})^{-1}a^{-1} = aa^{-1} \Rightarrow 3) ~(a^{-1})^{-1} = a$ , сократив левую и правую части $(2)$ на $a^{-1}?$

Да.
vadimm в сообщении #1472760 писал(а):
Если так, то почему это проще?

Хотя бы потому, что это доказательство не использует ассоциативность.

Теперь докажите правило сокращения, и сформулируйте правило сокращения и обе ваших теоремы в петле (где, напоминаю, правый обратный элемент и левый обратный элемент не совпадают).

UPD

iifat в сообщении #1472762 писал(а):
Как это вы (не спрашиваю — зачем) докажете правило сокращения без ассоциативности?

Ой, точно :facepalm: vadimm, в общем, тогда и ваше новое доказательство, и ваше старое одинаково хороши...

Но предложение сформулировать первую вашу теорему (о единице и ее обратном элементе) в петле все равно остается в силе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group