Как научиться правильно составлять дифференциальные уравнени

[Skipper]

Как научиться правильно составлять дифференциальные уравнения?

В университете нас учили только РЕШАТЬ, уже готовые составленные, дифференциальные уравнения.
А вот применительно к задаче, из реального мира, как их правильно составлять? Может есть какая-нибудь хорошая литература по этому поводу?

Хочу составить систему дифференциальных уравнений, для решения такой задачи, упрощенной модели Солнечной системы.
Допустим, в Солнечной системе, есть только три тела - Солнце, Венера, и Земля.
Масса Солнца больше массы Земли в 330 000 раз, а масса Венеры - меньше массы Земли на 18,5%. Т.е. масса Венеры равна 81,5 % от массы Земли. Небольшой сплюснутостью у полюсов - планет и Солнца можем пренебречь и считать, что тела вращаются как материальные точки.

1) Венера вращается вокруг Солнца почти по круговой орбите, с эксцентриситетом 0,007, точнее - в перигелии в 107 476 259 км от Солнца, а в афелии - в 108 942 109 км от Солнца.

2) Земля вращается вокруг Солнца по орбите, с эксцентриситетом 0,017, точнее - в перигелии в 147 098 290 км от Солнца, а в афелии - в 152 098 232 км от Солнца.

3) Орбиты планет Земля и Венера - не находятся в одной плоскости, а в разных плоскостях. Угол между плоскостями орбит , составляет 3,39 градуса.

Если бы вокруг Солнца обращалась только одна планета, то её орбита была вечно постоянной, т.е. не изменялась бы со временем вообще. Но поскольку, вращаются две планеты, то они каким то образом тоже, влияют немного друг на друга, т.с. вносят небольшие возмущения, и на протяжении сотен тысяч лет, элементы орбит, могут изменяться, в частности, могут изменяться эксцентриситеты, и угол между двумя плоскостями орбит.

Как правильно составить дифференциальные уравнения движения? (по которым, можно было бы решить задачу - посчитать изменения элементов орбит на протяжении десятков и сотен тысяч лет) Задачу упростил, включив только две планеты, но если понять принцип построения дифференциальных уравнений на движение в этом случае, я бы позже включил сюда все 8 крупных планет Солнечной системы, и аналогично, уже сам построил бы дифференциальные уравнения движения.

-- Пт июл 03, 2020 10:56:28 --

Решив такую задачу, можно расписать на миллионы лет вперёд, т.с. "эволюцию Солнечной системы", вот где-то читал, что якобы иногда орбита Земли становится более вытянутой, и эксцентриситет может увеличиваться до 0,067, а в таком случае, Земля уже приближается в перигелии к Солнцу на 140 млн км, и отдаляется от Солнца в афелии на 160 млн км.
И хотя среднее расстояние до Солнца остаётся тем же (большая полуось орбиты), в среднем в течении года планета находится дольше, на дальней от Солнца части орбиты, и меньше по времени - на ближней части. Значит, и меньше получает в среднем энергии от Солнца, и это может быть одной из причин ледниковых периодов.

[kotenok gav]

Это называется задачей трех тел, сами уравнения можете посмотреть в Википедии. Их общее решение неизвестно.

[Skipper]

kotenok gav , везде , где я видел уже составленные дифференциальные уравнения, применительно к задачам реального мира, то нигде не видел пояснения, почему дифф. уравнения именно такие , а не другие. А без этого пояснения, сам не научишься определять такие уравнения, когда возникает потребность, что нибудь решить.

[StaticZero]

Skipper, тайны в законе взаимодействия планет вроде не имеется. Скорее всего, вы можете записать ньютонов закон гравитации и выяснить, что вы ничего не можете с ним делать, кроме численного интегрирования. У вас другой вопрос возникнет --- "а можно как-то возмущение отдельно посчитать, если из эксперимента известно, что орбиты плюс-минус стабильны и планеты не улетают в далёкие дали, возмущеньице-то маленькое тогда должно быть?". И вот тогда, скорее всего, вы полезете гуглить книжку из разряда "возмущения планетарных орбит", или "приближенные модели проблемы многих тел", и тому подобное.

Царского пути, боюсь, не будет. Умные дяди и тёти каждый день головы ломают над очередными своими проблемами, пытаясь придумать к ним хорошие модели, объясняющие всё интересное.

Некоторые умные дяди и тёти задавались вопросом, как можно по-другому получить уравнения движения, кроме подсчёта сил, и придумали лагранжианы и гамильтонианы. Судя по квантовой механике, из этих вещей временами исходить гораздо полезнее, чем из старого доброго $\mathbf F = m \mathbf a$.

[Pphantom]

Skipper в сообщении #1472035 писал(а):

А вот применительно к задаче, из реального мира, как их правильно составлять? Может есть какая-нибудь хорошая литература по этому поводу?

Есть. Учебники по астрономии, физике, химии...

В каждой естественной науке (да и "неестественной" - к экономике, социологии и т.д. это тоже относится) есть теоретические подразделы, которые в очень большой степени из этого и состоят. Конечно, не только именно из составлении дифференциальных уравнений, а вообще из подбора и формализации математических моделей.

Skipper в сообщении #1472035 писал(а):

Небольшой сплюснутостью у полюсов - планет и Солнца можем пренебречь и считать, что тела вращаются как материальные точки.

Ну вот, в общем-то уже начали (а говорите, что совсем не умеете ). Материальная точка - тоже модель, первый шаг уже сделали.

В общем-то, думаю, вы вполне могли продвинуться и несколько дальше. Наверняка ведь второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения вам известны. А затем, да, нужен учебник по небесной механике (ну или собственноручное изобретение оскулирующих элементов).

Skipper в сообщении #1472035 писал(а):

Решив такую задачу, можно расписать на миллионы лет вперёд, т.с. "эволюцию Солнечной системы",

Можно (в теории). На практике появится еще целый пласт проблем, связанных с тем, что полученную систему уравнений надо решать численно, а это совсем не так просто. Собственно, конкретно в данном случае запись системы уравнений для задачи $N$ тел - самая простая часть проблемы.

[Skipper]

Цитата:

целый пласт проблем, связанных с тем, что полученную систему уравнений надо решать численно

Значит, невозможно вывести функции, которые будут решениями дифференциальных уравнений с их граничными условиями?
Или функции будут, только коэффициенты у них будут неточные, полученные численно?

А существуют ли такие дифференциальные уравнения, которые нельзя даже и численно решить?

[kotenok gav]

Skipper в сообщении #1472050 писал(а):

Значит, невозможно вывести функции, которые будут решениями дифференциальных уравнений с их граничными условиями?

Ну назовите их решение специальной функцией - вот вам и будет функция

Skipper в сообщении #1472050 писал(а):

А существуют ли такие дифференциальные уравнения, которые нельзя даже и численно решить?

Нет, конечно.

[Skipper]

Цитата:

Нет, конечно.

Не могу понять.. Кажется что должно быть такое , что даже и "специальных функций" , являющихся решением дифф. уравнений с граничными условиями, не существует. Или они существуют, но их нельзя даже приближенно численными методами получить.

[Pphantom]

Skipper в сообщении #1472050 писал(а):

Значит, невозможно вывести функции, которые будут решениями дифференциальных уравнений с их граничными условиями?

В этой задаче - нет.

Skipper в сообщении #1472050 писал(а):

А существуют ли такие дифференциальные уравнения, которые нельзя даже и численно решить?

Смотря что называть словом "нельзя". В некотором смысле описываемая задача такой и является.

[kotenok gav]

Ну посмотрите на метод Эйлера, скажем. Суть проста - превращаем дифференциальное уравнение в разностное.

-- 03 июл 2020, 19:36 --

Pphantom в сообщении #1472054 писал(а):

В этой задаче - нет.

Ну не совсем Можно просто назвать эти решения отдельными функциями. Неэлементарными, конечно.

[StaticZero]

Skipper в сообщении #1472050 писал(а):

нельзя даже и численно решить?

Зависит от того, что значит нельзя. Бывают плохие уравнения с численной точки зрения, над которыми надо немножко поиздеваться, чтобы можно было применять желаемые методы (дифуравнение вы получите в другой форме, эквивалентной, но другой). Например, жёсткие системы уравнений просто так в лоб не возьмёшь.

[madschumacher]

Skipper в сообщении #1472050 писал(а):

А существуют ли такие дифференциальные уравнения, которые нельзя даже и численно решить?

С практической точки зрения: практически все реальные проблемы таковы. Достаточно сделать число уравнений больше, чем влезает в компуктер, и вуаля!

[Skipper]

Цитата:

Смотря что называть словом "нельзя". В некотором смысле описываемая задача такой и является.

Дифференциальные уравнения - это подмножество функциональных уравнений. Нужно найти функции-решения.

Имел в виду, существуют ли такие функциональные уравнения, функции-решения которых даже приближенно, со сколь угодно большой точностью, нельзя получить численно. Т.е. например, коэффициенты в одной из функции-решении - вообще неопределяемы , но такая функция-решение существует. "Неопределеяемы" методами математики.

Допустим, определили, что функция-решение, будет иметь тип

$F(x) = A x^{26} + B x^{25} + C x^{24} + ... + Z x + 1 $

Если некто "оракул", скажет нам, чему равны коэффициенты, $A, B, C, D ... Z$ - то мы, подставив их, и найдём, что данная функция - является решением некоего функционального уравнения, (или, части решения, системы функциональных уравнений).

Но пока мы не знаем эти коэффициенты, мы можем только перебором, пытаться найти их во множестве 26-ти измерений, а там сложность поиска может быть такова, что не хватит никаких ресурсов.

Так, даже приближенно, нельзя найти, чему равно например, $A $ . А от него зависит следующая функция-решение , исходной системы.
Вывод - система функциональных уравнений, нерешаема даже приближенно, даже численными методами.

Правильно я понимаю?

-- Пт июл 03, 2020 12:46:34 --

Цитата:

Это называется задачей трех тел, сами уравнения можете посмотреть в Википедии. Их общее решение неизвестно.

Ну, тут иногда можно упростить. Мне почему то кажется очевидным следующее. Сколько бы планет не вращались вокруг Солнца, хоть три, хоть восемь, но
если изначально все их орбиты лежат строго в одной плоскости, то они из этой плоскости никогда и не выйдут, т.е. так и будут вращаться в одной плоскости. Нет сил, направленных на планеты, вне этой плоскости.

Задача N тел, упрощается из "пространственной" (т.е. в 3-х измерениях), так сказать , в "компланарную" (т.е. в 2-х измерениях) задачу N тел.

По этой же причине, т.к. движения планет обратимы во времени - если сейчас планеты не вращаются в одной плоскости вокруг Солнца, то их орбиты никогда и не придут в одну плоскость. (иначе - они могли бы выйти из одной плоскости "в прошлое", так же как и "в будущее").

[kotenok gav]

Skipper в сообщении #1472059 писал(а):

Правильно я понимаю?

Неправильно вы понимаете, мы говорили о дифурах с граничными условиями.

[StaticZero]

(Оффтоп)

madschumacher в сообщении #1472057 писал(а):

Достаточно сделать число уравнений больше, чем влезает в компуктер, и вуаля!

Слова не мальчика, но квантового химика

Skipper в сообщении #1472059 писал(а):

Правильно я понимаю?

А, вы про вычислимые и невычислимые функции...

Skipper в сообщении #1472059 писал(а):

Сколько бы планет не вращались вокруг Солнца, хоть три, хоть восемь, но если изначально все их орбиты лежат строго в одной плоскости, то они из этой плоскости никогда и не выйдут, т.е. так и будут вращаться в одной плоскости. Нет сил, направленных на планеты, вне этой плоскости.

В задаче двух тел за это отвечает закон сохранения момента импульса (и то, только если силовой центр поставляет сферически симметричный потенциал). В задаче "два взаимодействующих тела + силовой центр" сохраняется сумма моментов импульсов.