Как научиться правильно составлять дифференциальные уравнени

[Pphantom]

Skipper в сообщении #1472059 писал(а):

Дифференциальные уравнения - это подмножество функциональных уравнений.

Вообще-то нет.

Skipper в сообщении #1472059 писал(а):

Имел в виду, существуют ли такие функциональные уравнения, функции-решения которых даже приближенно, со сколь угодно большой точностью

Про вычислимые функции уже написали, но, вообще говоря, надо бы понять, что именно мы обсуждаем: модель чего-то реального с реальными же требованиями к результату или абстрактное дифференциальное уравнение?

Skipper в сообщении #1472059 писал(а):

Мне почему то кажется очевидным следующее. Сколько бы планет не вращались вокруг Солнца, хоть три, хоть восемь, но
если изначально все их орбиты лежат строго в одной плоскости, то они из этой плоскости никогда и не выйдут, т.е. так и будут вращаться в одной плоскости. Нет сил, направленных на планеты, вне этой плоскости.

Это правильно, но совершенно бесполезно, поскольку вращения строго в одной плоскости не имеется. Да и упрощение не слишком сильно меняет "метарезультат" - плоская задача $N$ тел и аналитически, и численно решается не лучше, чем пространственная.

[upgrade]

Skipper
Hello, word:
известно, что скорость - производная расстояния по времени
составляем
$v=\frac{ds}{dt}$
найти $s(t)$, если известно, что скорость от времени зависит так $v=\sin(t)$.

[kotenok gav]

(Оффтоп)

upgrade в сообщении #1472076 писал(а):

Hello, word

Привет, слово! Тут мир не пробегал?

[Skipper]

Pphantom

Цитата:

надо бы понять, что именно мы обсуждаем: модель чего-то реального с реальными же требованиями к результату или абстрактное дифференциальное уравнение?

И то и другое. Ну то что абстрактное дифференциальное уравнение, вообще говоря, не решается во всех случаях даже приближенными численными методами, я уже догадываюсь, а потому интересно,
"модель чего-то реального с реальными же требованиями к результату" - всегда решается приближенными численными методами ?

Pphantom

Цитата:

Да и упрощение не слишком сильно меняет "метарезультат" - плоская задача $N$ тел и аналитически, и численно решается не лучше, чем пространственная.

А вот это для меня , настоящее открытие! Я-то думал, что плоская задача намного проще для решения..

[Pphantom]

Skipper в сообщении #1472096 писал(а):

"модель чего-то реального с реальными же требованиями к результату" - всегда решается приближенными численными методами ?

Тоже нет.

P.S. Кстати, может быть, вы все-таки будете делать нормальные цитаты? Для этого нужно выделить цитируемый участок текста и нажать кнопку "Вставка" в цитируемом сообщении (справа снизу).

[Утундрий]

Skipper в сообщении #1472035 писал(а):

Как правильно составить дифференциальные уравнения движения? (по которым, можно было бы решить задачу - посчитать изменения элементов орбит на протяжении десятков и сотен тысяч лет)

В такой постановке решить задачу можно. Только надо иметь в виду, что к движению реальных планет всё это будет иметь весьма отдалённое отношение.

[StaticZero]

Skipper в сообщении #1472096 писал(а):

И то и другое. Ну то что абстрактное дифференциальное уравнение, вообще говоря, не решается во всех случаях даже приближенными численными методами, я уже догадываюсь, а потому интересно,
"модель чего-то реального с реальными же требованиями к результату" - всегда решается приближенными численными методами ?

У меня есть ощущение каши в голове. Думаю, что в вашей, но, может, и в моей. Численные методы приближенные по своей сути. Если это понятно плохо, "как в тумане", попробуйте придумать точный численный метод. Что это вообще такое, ну, хотя бы на уровне "ну это такая штука, котооооооорая...."? Как это предлагалось бы использовать? Попробуйте подумать об этом, а потом открыть спойлер.

(Оффтоп)

https://en.wikipedia.org/wiki/Constant_problem
https://en.wikipedia.org/wiki/Richardson%27s_theorem

(Оффтоп)

Единственно, что мы можем в этом мире точно понять, так это то, что мир приближенный.

[btoom]

Skipper в сообщении #1472035 писал(а):

В университете нас учили только РЕШАТЬ, уже готовые составленные, дифференциальные уравнения.

Звучит удивительно. В качестве примера для ОДУ нередко используются примеры с радиоактивным распадом, а для УЧП вывод уравнения теплопроводности или малых колебаний - классика, если не необходимость, в литературе. Например: С.Л.Соболев - "Уравнения математической физики" (параграфы 2-6), А.Н.Тихонов, Васильева, Свешников - "Дифференциальные уравнения" (параграф 2). Можно поискать книжки, где все выводится более или менее (что чаще, как по мне) подробно.
Если брать какую-то отдельную ветвь, то там найдете вывод. Например, для гидродинамики и газовой динамики уравнения одномерного течения с энтропией последовательно и весьма долго выводятся в книге Рождественского и Яненко "Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике" (глава 2, параграфы 1-2).

Skipper в сообщении #1472038 писал(а):

нигде не видел пояснения, почему дифф. уравнения именно такие , а не другие.

Если ознакомитесь с литературой, то убедитесь, что это обычно из соображений законов физики (например, упомянутый распад) плюс упрощения (колебания маятника, допустим) плюс (реже) эксперименты для конкретных историй (фильтрация песка, нефти плюс иногда некоторые коэффициенты в уравнении определяются "извне" опытно).
Еще можете почитать работы с применением асимптотических методов. Иногда, например, чтобы определить главный член асимптотики решения, приходится составлять систему уравнений (или не систему, а несколько вспомогательных).

Skipper в сообщении #1472059 писал(а):

Допустим, определили, что функция-решение, будет иметь тип

$F(x) = A x^{26} + B x^{25} + C x^{24} + ... + Z x + 1 $

Если некто "оракул", скажет нам, чему равны коэффициенты, $A, B, C, D ... Z$ - то мы, подставив их, и найдём, что данная функция - является решением некоего функционального уравнения, (или, части решения, системы функциональных уравнений).

Но пока мы не знаем эти коэффициенты, мы можем только перебором, пытаться найти их во множестве 26-ти измерений, а там сложность поиска может быть такова, что не хватит никаких ресурсов.

Так, даже приближенно, нельзя найти, чему равно например, $A $ . А от него зависит следующая функция-решение , исходной системы.
Вывод - система функциональных уравнений, нерешаема даже приближенно, даже численными методами.

Правильно я понимаю?

А если решение содержит произвольную постоянную или функцию? А если решение не единственное?