Ну, вот я нарисовал нечто такое
![Изображение](https://i.ibb.co/y02qHNH/image.png)
(извините за
неровный почерк, в смысле за плохую раскраску).
Площадь квадрата 9х9=81.
Полностью заполненных синих
Каждый единичной площади.
Бирюзовые имеют площадь 0.9907, "с точностью до жреца" считаем единицей, погрешность -0.93%
Красные большие (с площадью 0.8775) дополняются до единицы красными фрагментами (обозначены кружочками, площадь 0.027), итого вместе 0.9045 (приняв за единичную, получаем ошибку -9.55%), их 8.
Зелёные принимаем за пол-клетки (в действительности 0.5182, погрешность замены +3.64%), их тоже 8.
Жёлтых 4, и они больше половины, примем 3/4 (в действительности 0.8044 , погрешность замены +7.25%).
Итого
Что и даёт указанную выше дробь
![$\frac {64}{81}=(\frac 8 9)^2=$ $\frac {64}{81}=(\frac 8 9)^2=$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/9/9e9725886638b2b5f5ea38260946429e82.png)
и
![$\pi\approx 3.160493827$ $\pi\approx 3.160493827$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/9/bd9af02d13ac5a437b28f76d52fd45a282.png)
.
Это, разумеется, не доказательство, это чистая эмпирика, но с достаточной для практики точностью (для египтян даже избыточной). А когда красиво выразили через площадь квадрата со стороной
![$8/9$ $8/9$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/5/5f51e9b4cd278d4e15b46e9871dd62a082.png)
, что дало лёгкость запоминания, то, видимо, дальше и не искали.