Найти сумму ряда n^2/(n+1)!

[daogiauvang]

$\sum\limits_{n=0}^{ +\infty } \frac{ n^{2}}{(n+1)!}$

[AD]

Сначала найдите сумму ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$, а потом получите из него нужный вам ряд почленным дифференцированием и/или интегрированием, умножением и/или делением на $x$, и финальной подстановкой $x=1$.

[ewert]

Или попросту:

$$\sum_{k=1}^{\infty}{(k-1)^2\over k!}=\sum {k^2\over k!}-2\sum {k\over k!}+\sum {1\over k!}$$

и т.д.

[AD]

Ну и

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{(k-1)!}$$

тоже все равно через степенные ряды считать ... Или есть другой план?

[ewert]

AD писал(а):

Ну и

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(k-1)!}$$

тоже все равно через степенные ряды считать ...

Да нет, конечно. Просто ещё раз тот же приём: это -- $\sum \frac{k-1}{(k-1)!}+\sum \frac{1}{(k-1)!}$

[AD]

Хмм, действительно. Спасибо, тоже буду пользоваться