Бесконечное кольцо R

[Lorein_]

Не куб не синий

[mihaild]

Lorein_ в сообщении #1469655 писал(а):

Не куб не синий

Как вы получили такой результат?
Как вообще строится отрицание высказывания вида "А или В"?

[Lorein_]

Отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний. Не синий куб и не красный шар

-- 19.06.2020, 21:46 --

То есть получим "найдётся ненулевой необратимый элемент и число обратимых элементов конечно"?

[vpb]

О. ТС появилася в теме вновь. Рад.

Lorein_ в сообщении #1469650 писал(а):

Пусть $a\ne0, a \in R$, $a$- необратим, от противного пусть $ar, r \in R$ - обратим, тогда найдется $b\ne0, b\in R$ т.ч. $(ar)b = 1$ отсюда $a(rb) = 1$ Получили, что a обратим. Противоречие.

Да, это правильно.

Lorein_ в сообщении #1469650 писал(а):

Ещё раз перечитала условие. Получается, если доказывать от обратного, то формулировка будет такая:В бесконечном кольце R либо каждый ненулевой элемент необратим, либо число необратимых конечно.

Ужос. И это студент третьего (да ?) курса... Нет, наоборот: либо каждый обратим, либо число необратимых бесконечно. Под "обратного" подразумевается, вероятно, доказательство от противного. Ну, то есть Вам предлагается предположить, что такой ситуации, что необратимые элементы существуют, но число их конечно, быть не может. Или еще раз то же самое, третьим способом: если хоть один необратимый элемент (ненулевой, конечно) есть, то таких элементов бесконечно много.

Хм, а Вы же, судя по предыдущему, все-таки знаете, что такое доказательство от противного... совсем не понимаю. Ну ладно.

Итак, предположим, что $a$ --- некоторый необратимый элемент. У нас может быть две возможности: либо в идеале $aR$ содержится бесконечное число элементов, либо конечное. Любой ненулевой элемент вида $ar$ необратим. Значит, любой ненулевой элемент из нашего идеала необратим. Поэтому в первом случае получается бесконечное число необратимых элементов. Остается показать, что и во втором случае, т.е. когда $aR$ конечен, все равно есть бесконечное число необратимых элементов (но это уже, конечно, не элементы из $aR$).

Напомним, что делитель нуля --- это любой ненулевой элемент $x$ такой, что $xy=0$ для некоторого ненулевого элемента $y$.

В качестве предварительного шага доказательства докажите, что любой делитель нуля необратим.

P.S. А, пока я писал, Вам уже кое-что из области логических рассуждений разъяснили...

[Lorein_]

vpb в сообщении #1469661 писал(а):

В качестве предварительного шага доказательства докажите, что любой делитель нуля необратим.

Пусть $x\ne 0, x\in R$, $x$ - обратим, пусть $x$ является делителем нуля, тогда найдётся $y \in R, y\ne 0$, т.ч. $xy=0$, домножим слева на обратный к $x$. $y=0$. Следовательно делители нуля это только необратимые элементы.

[vpb]

Lorein_ в сообщении #1469663 писал(а):

Пусть $x\ne 0, x\in R$, $x$ - обратим, пусть $x$ является делителем нуля, тогда найдётся $y \in R, y\ne 0$, т.ч. $xy=0$, домножим слева на обратный к $x$. $y=0$. Следовательно делители нуля это только необратимые элементы.

Да.

Следующее утверждение, предлагаемое к доказательству. Пусть есть две абелевы группы $A$ и $B$, и $f\colon A\longrightarrow B$ --- гомоморфизм между ними. Предположим, что $A$ бесконечна, а образ гомоморфизма $f$ конечен. Докажите, что его ядро бесконечно.

[Lorein_]

vpb в сообщении #1469661 писал(а):

Остается показать, что и во втором случае, т.е. когда $aR$ конечен, все равно есть бесконечное число необратимых элементов (но это уже, конечно, не элементы из $aR$).

Видимо эти элементы это делители нуля и все они будут необратимы по вышедоказанному?

-- 19.06.2020, 22:46 --

vpb в сообщении #1469661 писал(а):

либо в идеале $aR$ содержится бесконечное число элементов, либо конечное.

А разве из того, что в идеале конечное число элементов не следует конечность кольца?

[vpb]

Lorein_ в сообщении #1469667 писал(а):

Видимо эти элементы это делители нуля и все они будут необратимы по вышедоказанному?

Да, это так. Вопрос только в том, откуда они берутся.

-- 19.06.2020, 21:47 --

Lorein_ в сообщении #1469667 писал(а):

А разве из того, что в идеале конечное число элементов не следует конечность кольца?

Нет, не следует.

[Lorein_]

И проще нет пути?Без гомоморфизмов?

[vpb]

Lorein_ в сообщении #1469671 писал(а):

И проще нет пути?Без гомоморфизмов?

Нет, нету. Так оно в любом случае надо знать. Есть такая русская народная сказка "Лёгкий хлеб". А еще есть знаменитое "Нет царского пути в геометрии".

[Lorein_]

vpb в сообщении #1469666 писал(а):

Пусть есть две абелевы группы $A$ и $B$, и $f\colon A\longrightarrow B$ --- гомоморфизм между ними. Предположим, что $A$ бесконечна, а образ гомоморфизма $f$ конечен. Докажите, что его ядро бесконечно.

По теореме о гомоморфизме если $Imf$ конечен, то $Imf \cong A/Kerf$ , следовательно $Kerf$ - бесконечно.

[mihaild]

А зачем тут гомоморфизмы? Взяли наш необратимый элемент $a$, им порожден конечный идеал, значит число элементов вида $a\cdot x$ конечно, значит для какого-то $z$ есть бесконечное число $x_i$, таких что $x \cdot x_i = z$. Ну а попарные разности этих $x_i$ - делители нуля. Ничего факторизовать вроде бы не нужно.

vpb в сообщении #1469673 писал(а):

Lorein_ в сообщении #1469671 писал(а):

И проще нет пути?Без гомоморфизмов?

Нет, нету. Так оно в любом случае надо знать. Есть такая русская народная сказка "Лёгкий хлеб". А еще есть знаменитое "Нет царского пути в геометрии".

[Lorein_]

mihaild в сообщении #1469730 писал(а):

значит для какого-то $z$ есть бесконечное число $x_i$, таких что $x \cdot x_i = z$.

Немного не пойму этот момент. Почему $x_{i}$ бесконечное число? И что за $z$ такое?
У меня была мысль, что если элементов вида $ax$ конечное число, то какие-от из элементов могут совпасть, например $ax = ay$, $a(x-y)=0$, так как $a$ необратим, то и $x-y$ необратим. Но почему число необратимых будет бесконечно?

[Someone]

Lorein_ в сообщении #1469650 писал(а):

$(ar)b = 1$ отсюда $a(rb) = 1$

Ага. Ассоциативность явно используется.

[mihaild]

(Оффтоп)

Мдя, сообщение выше предполагалось в личку vpb
Сейчас мне прилетит за выкладывание решения, и по делу...