Анализ Дзета-функции Римана

[maravan]

g______d в сообщении #1467546 писал(а):

Хорошо: $\alpha(n)=1/n$, бесконечно малая при $n\to +\infty$.

$\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k}=+\infty$,

в пределе при $n\to+\infty$ тоже $+\infty$, поскольку предел константы равен той же самой константе.

Конечно, если ряд сходится и мы оперируем конечными пределами, то такое невозможно, но Вы пока не доказали, что этот вариант имеет место.

g______d

Всё верно вы привели, я проглядел, откуда у вас $k$ начинается, и в этом посте
post1467547.html#p1467547
неправильно записал начальное значение $i$.
Еще раз спасибо ).

[maravan]

Из литературы (л.1), для n\in \mathbb{N},k\in \mathbb{N},$s\neq 0,s\neq 1,s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>-2 k$, известно (цитирую)

$$ \zeta _n(s)=\sum _{i=1}^{n-1} \frac{1}{i^s} $$

$$ T_j(n,s)=\frac{B_{2 j}}{(2 j)!} \frac{1}{n^{2 j+s-1}}\prod _{m=0}^{2 j-2} (s+m) $$

$$ R(n,k,s)=\frac{-s (s+1)\text{...}(2 k+s)}{(2 k+1)!}\int_n^{\infty } \frac{\psi _{2 k+1}(x)}{x^{2 k+s+1}} \, dx $$

$$ \psi (t)=\sum _{k=1}^{\infty } e^{t \left(-\text{$\pi $k}^s\right)} $$

$$ \zeta (s)=\zeta _n(s)+\frac{n^{1-s}}{s-1}+\frac{n^{-s}}{2}+\sum _{j=1}^k T_j(n,s)+R(n,k,s) $$

Используя литературу (л.2), для $s\neq 0,s\neq 1,s\in \mathbb{C},\operatorname{Re}(s)>-1$, выпишем (цитирую)

$$ \zeta (s)=\lim_{n\to \infty } \left(\sum _{i=1}^{n-1} \frac{1}{i^s}+\frac{1}{2 n^s}+\frac{n^{1-s}}{s-1}\right) \qquad\qquad\qquad (20) $$

Ссылки на литературу:

л.1. An Algorithm for Computing the Riemann Zeta Function Based on an Analysis of Backlund’s Remainder Estimate, Petra Margarete Menz, стр. 8

л.2. Quelques applications d'une formule sommatoire générale, Ernst Lindelöf, стр. 42

С выражением (20) все согласны?

(Прямые ссылки на оригинал литературы)

л.1.An Algorithm for Computing the Riemann Zeta Function Based on an Analysis of Backlund’s Remainder Estimate, Petra Margarete Menz
л.2.Quelques applications d'une formule sommatoire générale, Ernst Lindelöf

[Skipper]

Правильно ли я понимаю, что "ослабленная гипотеза Мертенса" (ОГМ) - сильнее чем "классическая гипотеза Римана" (ГР) ?

В самом деле, пишут, что из ОГМ следует ГР, и даже пишут что якобы, они эквивалентны. С последним я недопонял, Карацуба говорил, что из ОГМ следует то, что все нули Дзета-Функции Римана, не только лежат на критической прямой, но и все они простые, т.е. нету кратных нулей.
Но из ГР это точно не следует.

Значит,
из ОГМ следует ГР, но не наоборот, и ОГМ - самая сильная знаменитая гипотеза из теории ДФР?

[vicvolf]

Skipper в сообщении #1584670 писал(а):

ослабленная гипотеза Мертенса (ОГМ)

Что это такое? Можно ссылку?

[maravan]

Экспериментировал с бесконечными произведениями, наткнулся на вот такой интересный предел.
Пока не понял, насколько это тривиально.

$$ \lim_{n\to +\infty } \lvert n^{\frac{1}{2}-i t} \log \left(e^{-\frac{n^{-2 i t}}{\frac{1}{2}-i t}} \prod _{k=1}^n \frac{1}{1-(k n)^{-\left(\frac{1}{2}+i t\right)}}\right) \rvert=\lvert \zeta{\left(\frac{1}{2}+i t\right)} \rvert $$

$n\in \mathbb N, t\in \mathbb R $.

Кто-то встречал такое в литературе?

[maravan]

И еще пара интересных пределов, которых я ранее не встречал:

$$ \lim_{n\to +\infty } n^s \log \left(e^{-\frac{n^{1-2 s}}{1-s}} \prod _{k=1}^n \frac{1}{1-(k n)^{-s}}\right)=\zeta{\left(s\right)} $$

$$n\in \mathbb N, s\in \mathbb C, \operatorname{Re}(s)\geq \frac{1}{2}. $$

Какова нижняя граница $ \operatorname{Re}(s) $ - вопрос пока открытый.

$$ \lim_{n\to +\infty } n^s \log \left(e^{-\frac{n^{1-2 s}}{1-s}} \prod _{k=1}^n \frac{1}{1-(k n)^{-s}}\right) =\lim_{n\to +\infty } \prod _{i=1}^n \frac{1}{1-p_i^{-s}} $$

$$n\in \mathbb N, s\in \mathbb C, \operatorname{Re}(s)>1, p_i - \text{i-ое простое число.} $$

[maravan]

Разобрался, всё тривиально оказалось, эти пределы вытекают из представления $e$ через предел.
Это оказалась обычная сумма для дзеты, для $\operatorname{Re}(s)>0$.