Докажите без калькулятора

[Утундрий]

wrest в сообщении #1468292 писал(а):

А умножения без калькулятора делали?

Теоретически, все вычисления можно проделать без калькулятора.

[novichok2018]

Утундрий - почему степень ряда Лейбница опять ряд Лейбница? Знакочередование наверное понятно, а монотонность?
wrest - "дальше сходимость при знакопеременности..." - почему знакочередуемость ряда? Функция не такая простая вроде.

[wrest]

novichok2018
Вы правы, на первых 70 членах разложения знаки идут так
$++++-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-$
Знакопеременность прсле 4-го "сбивается" один раз. Возможно, где-то потом знакопеременность пропадает.

P.S. Проверил до 500-го члена, сбой в знакопеременности по-прежнему один.

[Утундрий]

novichok2018 в сообщении #1468317 писал(а):

почему степень ряда Лейбница опять ряд Лейбница? Знакочередование наверное понятно, а монотонность?

Потому и "набросок", что я этого не доказывал.

[arqady]

novichok2018
Можно так.

Докажем, что при $x\geq1$

$$\ln{x}\leq(x-1)\sqrt[3]{\frac{2}{x^2+x}}$$

(понятно, что это то же самое, что Вы нашли). Для этого докажем, что $f(x)\geq0$, где

$$f(x)=(x-1)\sqrt[3]{\frac{2}{x^2+x}}-\ln{x}.$$

И здесь получается такая радость:

$$f'(x)=\frac{\sqrt[3]2(x^2+4x+1)-3\sqrt[3]{x(x+1)^4}}{3\sqrt[3]{(x^2+x)^4}}=\frac{(2x^2+5x+2)(x-1)^4}{something\\positive}$$

[novichok2018]

wrest - получается интересная другая задача, про расстановку знаков. На каком члене сбой знаков?

[kotenok gav]

Сбой у $x^{-7}$ и $x^{-8}$.

-- 13 июн 2020, 01:52 --

Будет весьма интересно записать энный член как $a_n=(-1)^\text{знак}\dfrac{\text{натуральное число}}{\text{натуральное число}\times(n-3)!x^{n-3}}$. А то факториал в знаменателе весьма отчетливо просматривается...

[arqady]

Какое из следующих чисел больше?

$$\tg1^{\circ}+\tg3^{\circ}+\tg5^{\circ}+\tg7^{\circ}+\tg9^{\circ}$$

или

$$\tg2^{\circ}+\tg4^{\circ}+\tg6^{\circ}+\tg8^{\circ}+\frac{1}{2}\tg10^{\circ}$$

Без калькулятора, конечно.

[wrest]

arqady
$\tg x$ же быстрее растет чем $x$ то есть $\tg x > x$
Очевидно, вторая сумма больше...

[arqady]

wrest
Можно по-подробнее? Какое это имеет отношение к задаче?

(Оффтоп)

Проверили на калькуляторе?

[Emergency]

wrest в сообщении #1468292 писал(а):

А умножения без калькулятора делали?

По идее, "без калькулятора" должно означать "без вычислений". Но я не уверен, что автор именно это имел в виду.

[arqady]

Emergency
Без калькулятора, означает - без калькулятора. Например, на IMO у Вас есть примерно полтора часа времени на задачу, ручка и бумага. Если Вы сможете за полтора часа написать решение, используящее восьмизначные числа и не ошибиться, то Вы решили задачу.
Кстати, последняя задача была предложена в этом году школьникам, которые хотят начать учиться математике в Тель-Авивском университете. Речь идёт о седьмом, восьмом, ну девятом классе (у нас двенадцатилетняя школа).

[Утундрий]

arqady в сообщении #1468552 писал(а):

у Вас есть примерно полтора часа времени на задачу, ручка и бумага.

Ок, выбываю.

[wrest]

arqady в сообщении #1468549 писал(а):

Можно по-подробнее? Какое это имеет отношение к задаче?

Так помойму $\tg x + \tg 3x + \tg 5x + \tg 7x + \tg 9x < \tg 2x + \tg 4x + \tg 6x + \tg 8x + \frac12 \tg 10x$ для $0<x<9^{\circ}$, разве нет? Из-зы выпуклости тангенса книзу.

[TOTAL]

arqady в сообщении #1467966 писал(а):

Без использования калькулятора докажите, что:

$$\ln1.1<\frac{1}{\sqrt[3]{1155}}.$$

$$\ln1.1=\ln(1+\frac{1}{21}) -\ln(1-\frac{1}{21} )= 2\left(\frac{1}{21} + \frac{1}{3 \cdot 21^3} + \frac{1}{5 \cdot 21^5} + \dots \right)$$

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{1155}}=\frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{440}}}{10.5} > \frac{1 +\frac{1}{3 \cdot 440} -\frac{1}{9 \cdot 440^2}}{10.5}$$

$$ 1 + \frac{1}{3 \cdot 441} + \frac{1}{5 \cdot 441^2} + \frac{1}{7 \cdot 441^3} + \dots < 1 +\frac{1}{3 \cdot 440} -\frac{1}{9 \cdot 440^2} $$

Без калькулятора видно, что последнее верно.

-- Сб июн 13, 2020 08:33:33 --

Вот так видно (если картинку нарисовать)

$$ \frac{1}{2}\tg10^{\circ} < (\tg2^{\circ}-\tg1^{\circ})+ (\tg4^{\circ}-\tg3^{\circ}) + \dots$$