Анализ Дзета-функции Римана

[maravan]

g______d Спасибо за замечания, попробую разобраться и написать внятные доказательства, как подтяну теорию в пределах.

По поводу

Цитата:

"Используя запрещённые и не обоснованные строго операции с пределами, я доказал гипотезу Римана"

Я никогда такого не утверждал.

Otta Спасибо за ответы и что пытаетесь мне объяснить вещи, в которых у меня есть пробелы.

Я возьму небольшой тайм-аут, попробую подтянуть теорию, вероятно, для меня сейчас, то на что вы указываете имеет другой смысл.

(Оффтоп)

Я, в основном, люблю читать зарубежную литературу, первое, что нагуглил https://math.unm.edu/~loring/links/analysis_f10/exchange.pdf.
Это риторический вопрос, в котором я сам разберусь, но почему, что мы сегодня называли повторным пределом у них идет, как "double limits". Я бы это называл "nested limits".
Срочно нужно подтягивать теорию.

Всем хороших выходных и не болеть!

[Otta]

maravan
Нет. Повторный предел - repeated limit (или iterated limit). Это то, что у Вас.
Двойной предел - double limit.

-- 04.05.2020, 03:35 --

maravan
Ваш текст по ссылке посвящен перестановке пределов. Вы этим ни разу не пользовались и незаметно, чтобы собирались пользоваться. Двойных пределов ни у Вас, ни в тексте нет. Можете с чистой совестью пока его не читать.

Раз Вам так нравятся чужеземные источники, можете посмотреть тут: http://mathonline.wikidot.com/double-li ... ces-of-rea или тут: https://www.encyclopediaofmath.org/inde ... uble_limit или вообще в Википедии (англоязычной), кратко, на уровне определений.

Но честно говоря, так много хороших источников на русском, что я не очень вижу смысл искать на английском.

[g______d]

maravan в сообщении #1459983 писал(а):

Я никогда такого не утверждал.

Строго говоря, действительно не утверждали. Ладно, готов Вам подыграть и сделать вид, что понятия не имею, чем всё предполагается закончить. Будет обновление -- буду читать дальше.

[maravan]

Продолжу рассуждения.

Известно, что $\eta (s)$ - непрерывна для $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$, тогда, если $s_0$ - нуль дзета-функции, то используя определение непрерывности и теорему Мура - Осгуда, для $\varepsilon$-окрестности $s_0$, $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$ можем записать

$$ \eta (s_0)=\lim_{s\to s_0} \left(\lim_{n\to \infty } \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)=\lim_{n\to \infty } \left(\lim_{s\to s_0} \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)=0 $$

С другой стороны, используя (7)

$$ \eta (s_0)=\lim_{s\to s_0} \left(\lim_{n\to \infty } \left(-\frac{1}{2 (2 n)^s} \right)\right)=\lim_{n\to \infty} \left(\lim_{s\to s_0} \left(-\frac{1}{2 (2 n)^s} \right)\right)=0 $$

Ссылка на литературу:

Rudin W.Principles of Mathematical Analysis 3 ed, стр. 144, выр 3.

С такой записью все согласны?

[g______d]

maravan в сообщении #1461469 писал(а):

С такой записью все согласны?

Пока да. За исключением того, что опять путаница между $s$ и $s_0$:

maravan в сообщении #1461469 писал(а):

$\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$

Но если $s$ заменить на $s_0$, то получается правда, так что не принципиально.

[maravan]

В $\varepsilon$-окрестности точки $s_0$, при $s\to s_0$, $n\to \infty$, для $\operatorname{Re}(s)\in (0,1)$, функции

$$ f_n(s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s},n\in \mathbb{N} $$

$$ g_n(s)=-\frac{1}{2 (2 n)^s},n\in \mathbb{N} $$

являются эквивалентными бесконечно малыми функциями, тогда, используя (7) существуют пределы

$$ \lim_{n\to \infty } \left(\lim_{s\to s_0} \left(-2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)\right)=1 $$

И

$$ \lim_{s\to s_0} \left(\lim_{n\to \infty} \left(-2 (2 n)^s \left(\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}-\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}\right)\right)\right)=1 $$

Согласны?

[g______d]

maravan в сообщении #1461475 писал(а):

являются эквивалентными бесконечно малыми функциями

Это почему?

[maravan]

Otta в сообщении #1458027 писал(а):

maravan
Вы что-то другое хотели написать? под пределом тождественная единица.

-- 26.04.2020, 16:33 --

Так что резюме: верно, но информации не принесет никакой.
Продолжу еще:
Считаем (8) явно. Внутренний предел, по $n$ равен нулю для любых $s$ из достаточно малой проколотой окрестности $s_0$, тогда внешний тоже равен нулю. Единице он не равен.

Продолжу

maravan в сообщении #1457756 писал(а):

Тогда, если $s$ - нуль дзета-функции, то будет верно

$$ \eta (s)=\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{2 (2 n)^s}\right),\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(7) $$

То есть если $s$ ноль дзета-функции, с тем же успехом можно было написать, что

$$ \eta (s)=\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{2 (2 n!)^s}\right),\operatorname{Re}(s)>0 $$

тоже было бы правдой, но почему то Вы не написали. Ладно, не отвлекаюсь. Хотя интересно, почему. И почему понадобилось так много выкладок, чтобы по сути, сказать, что в нуле дзета функции $\eta =0$. Бог с ним (хотя почему?), не буду отвлекаться.

Но в выражении

maravan в сообщении #1458012 писал(а):

$$ \lim_{s\to s_0 }\left(\lim_{n\to \infty }\left(-\frac{1}{\eta (s) 2 (2 n)^s}\right)\right)=1,\operatorname{Re}(s)>0 \qquad\qquad\qquad(8) $$

под знаком предела в малой проколотой окрестности $s_0$ число $s$ не является нулем. На каком основании для $\eta(s)$ Вы используете (7)?

Otta Спасибо, перечитав литературу по пределам - теперь понял почему вы так написали .
Также понял, что с самого начала, то, на что я опирался - корректно, но в итоге приносит мало пользы в том, что я хочу доказать.

g______d Спасибо, согласен с вашим последним вопросом, нужно копнуть глубже, предел - то действительно равен 1, другой вопрос, как доказать (постараюсь доказать)!
Читаю литературу, открывается много нового и интересного, на что раньше не обращал внимания.

Всем отвечающим - спасибо за терпение!

[maravan]

Хочу поделиться формой записи.

Введем обозначение

$\rho (\lambda (n))=\rho \left(\sum _{i=0}^\infty a_i n^{-s-i}\right)$, $n\in \mathbb{N},\operatorname{Re}(s)\in (0,1),\operatorname{Im}(s)\in \mathbb{R},n\to \infty ,a_i\in \mathbb{C},a_i$-константа

Тогда каждый член ряда, стоящий в $\rho$ является бесконечно малой порядка $-s - i$.
Сравним порядок $-s-i_1$ и $-s-i_2$, тогда если $i_1 > i_2$, то $-s-i_1$ - более высокого порядка чем $-s-i_2$.
В записи $\rho (\lambda (n))$ будем формировать $\lambda (n)$ от более низкого порядка к более высокому, также в $\lambda (n)$ будем добавлять столько членов (не произвольных), сколько может потребоваться для промежуточных расчетов.

Далее расчеты будут проводится для $n\in \mathbb{N},\operatorname{Re}(s)\in (0,1),\operatorname{Im}(s)\in \mathbb{R},n\to \infty$.

Используем запись для дзета-функции

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}-\rho \left(\frac{n^{-s}}{2}-\frac{s n^{-s-1}}{2\ 6}\right) $$

Тогда

$$ \zeta (s)=2^s \sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2^{1-s} (1-s)}-\rho \left(\frac{(2 n)^{-s}}{2\ 2^{-s}}-\frac{s n^{-s-1}}{2\ 6\ 2^{-s-1}}\right) $$

И

$$ 2^{-s} \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n)^{1-s}}{2 (1-s)}-\rho \left(\frac{1}{2} (2 n)^{-s}-\frac{1}{6} s (2 n)^{-s-1}\right) \qquad\qquad\qquad(14) $$

Используем представление дзета-функции через нечётные $n$, запишем

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^{2 n-1} \frac{1}{i^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\rho \left(\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}\right) $$

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^{2 n} \frac{1}{i^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\rho \left(\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}\right) $$

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\rho \left(\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}\right) $$

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i-1)^s}+\sum _{i=1}^n \frac{1}{(2 i)^s}-\frac{(2 n-1)^{1-s}}{1-s}-\rho \left(\frac{1}{2} (2 n-1)^{-s}+(2 n)^{-s}-\frac{s (2 n-1)^{-s-1}}{2\ 6}\right)\qquad(15) $$

Будет ли понятна такая запись?

Ссылка на литературу:

1. Note sur les zéros de la fonction $\zeta(s)$ de Riemann, стр. 294

[g______d]

maravan в сообщении #1467254 писал(а):

Введем обозначение

Что за объект это $\rho$? Это функция от одного числа? Если нет, то это отображение из какого множества в какое?

maravan в сообщении #1467254 писал(а):

Будет ли понятна такая запись?

Нет.

Чем ближе Ваш язык к стандартному, тем легче искать ошибку (в том числе и Вам).

[maravan]

g______d

$$\rho (\lambda (n))=\lambda (n)$$

Мне в моих расчетах, чтобы не запутаться, удобнее работать с бесконечно малыми под знаком $\rho$, туда собираются все бесконечно малые.
Если просто записывать без $\rho$, то формулы становятся запутанными, поэтому использую такую запись, чтобы отделить бесконечно малые функции и отсортировать их от более низкого порядка, к более высокому и ничего больше.

[g______d]

maravan в сообщении #1467258 писал(а):

$$\rho (\lambda (n))=\lambda (n)$$

Ничего не понял. Если $\rho(\lambda(n))=\lambda(n)$, то почему бы не писать просто $\lambda(n)$?

[maravan]

g______d

Ок, понял вас, тогда буду писать просто в круглых скобках, опустив символ $\rho$.

[g______d]

maravan в сообщении #1467260 писал(а):

Ок, понял вас, тогда буду писать просто в круглых скобках, опустив символ $\rho$.

Ок. Но нужно, чтобы равенство было верным. Например, уже первая строчка

maravan в сообщении #1467254 писал(а):

$$ \zeta (s)=\sum _{i=1}^n \frac{1}{i^s}-\frac{n^{1-s}}{1-s}-\rho \left(\frac{n^{-s}}{2}-\frac{s n^{-s-1}}{2\ 6}\right) $$

очевидно неверна (неопределённость в том, чем именно является $\rho$). Лучше переписать в общепринятых терминах, чтобы читатели могли без усилий проверять строчку за строчкой.

[Otta]

Попробую заняться телепатией.
maravan
А не ознакомиться ли Вам с языком o-малых и О-больших? Вдруг это тот самый велосипед?